【高2数列】第4回全統記述模試

数列いろいろな数列漸化式と数学的帰納法

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High2

▷ 数列自学

2026.01.23 公開

高2 数学数列全統模試過去問自学赤城漸化式数学的帰納法帰納法 math 過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

5
2023年第4回全統記述高2模試 @自学
数列{a} (n=1, 2, 3, …) は公差が正の等差数列で,
a + α2 + α = -3,
a₁a3 -3
==
3
を満たし, 数列{b,}は
b=-1,b=|b|+a
(n = 1, 2, 3, ...)
(n=1, …)
1
n
n
を満たしている。
(1)数列{a}の一般項を求めよ。
(2) b, b; を求めよ。 また, b≧0となるようなnの値の範囲を
求めよ。
(3) n≧4のとき, 数列{b,}の一般項を求めよ。
(4)n≧4のとき, bk を求めよ。
k=1

ページ2:

自学 © Akagi
(1) 数列{a}の公差をd(d>0)とする。
a + α2 + α = -3 より
aa3 = -3 より
①を代入して
d>0より
a,+(a,+d)+(a, + 2d) = -3
∴ a=-d-1 ...... ①
a(a, +2d) = -3
(-d-1)(-d-1+ 2d) = -3
∴ (d+1)(d-1) = 3
:. d² = 4
d=2
①に代入して
a₁
-3
したがって
n
=-3+(n-1)x 2 = 2n - 5圄

ページ3:

(2)
n
a₁ = −3, α = 2n-5 / b₁ = −1, bm+₁ = |bm|+a„
n+1
n
=
b₂ = | b₁ |+a₁ = |-1|+(-3) = +1-3 = -2
b₁ = |b₂ |+a₂ = |−2|+(-1) = +2 -1=1
n≧3のとき
だから
よって,
|b|>0, a = 2n-5>0
n
b+1 >0
n≥3
an
答
正になった

ページ4:

(3)
n≧4のとき, 数列{a}の一般項を求める。
(2)より b.
n+1
=b,+2n-5(n≧3)
階差数列の一般項の公式により
n≧4のとき
n-1
階差数列型の
漸化式
n
3
b = b + Σ(2k -5)
n-1
2
Σ (2k - 5) - (2k - 5)
k=1
(n-1)n-5(n-1)-(-3-1)
k=1
=
= 2.
2
2
=n
・6n+9
a1 = -3
a2 = -1
k=3
=1+(n²-6n+9)
2
= n² -6n + 10 劄
これはn=3のときにも成り立つ。
n=1,2
は成り立たない

ページ5:

(4)(3)より
b₁ = n² − 6n+10 (n ≥ 3)
よって
ここで
n
n
k=1
n
-
b=b+b₂ + Σ (k² − 6k +10)
b₁ = -1, b₁ = -2
n
k=3
IM³
Σ (k² .
-
6k +10)
=
k=3
n
2
Σ (k² - 6k+10) - Σ(k
k=1
(k²
-6k+10)
k=1
②
途中式略
1
=
=
6
1
3
n(n+1)(2n+1)−6·−n(n+1)+10n - (5+2)
3
―
5
2
2
43
n² +―n-7
②, ③を①に代入すると
n
6
2
3
5
2
Σb₁ = (−1) + (-2)+ — —n³ − ²±²² +
k
k=1
1
= n
3
3
-
5
2
3
n'
(3
43
n-7
2
6
43
2
n +
n-10 答
6