【高2小問集合】第4回全統記述模試

2次方程式複素数と方程式高次方程式点と直線指数関数対数関数

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High2

□ 2023小問集合 □
⑴ 三角比
⑵ 二次方程式（二次関数）
⑶ 高次方程式
⑷ 図形と方程式
⑸ 指数関数
⑹ 対数関数

2026.01.23 公開

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ノートテキスト

ページ1:

1
2023年第4回全統記述高2模試@自学
(1) AB = 15, AC =7,∠BAC = 60°の△ABC がある。 BC の
長さと△ABCの内接円の半径を求めよ。
(2)αは実数の定数とする。 xの2次方程式x-ax-a-9=0
が-2より小さい解と3より大きい解をもつようなαの値の範囲を
求めよ。
(3)方程式 x3+3x2 + 2x-6=0を複素数の範囲で解け。
(4) 座標平面上の直線y=x上の点で,直線x+2y-4=0まで
の距離が5である点の座標をすべて求めよ。
x+1
(5) 方程式 41 +7.2"-2=0を解け。
(6) 不等式 log2 x + 1≧log2(2-x)を解け。

ページ2:

自学 © Akagi
(1)△ABC で, 余弦定理により BC2=152 +72-215・7・cos 60°
1
= 225 +49-210×
2
=169
BC>0より
BC =13
105 √3 105√3
準備: △ABC の面積==.15.7sin 60°=
2
2 2
4
△ABC の内接円の中心を0, 半径をrとすると,
△OAB + △OBC + △OCA = △ABC
内接円の半径は三角形の
各辺と垂直に交わる
であるから
105√3
15.r÷2+13.r÷2+7.r÷2=
4
3
よって
r ==
1/3 劄
2

ページ3:

(2) f(x) = x2 -ax-a-9 とする。
y=f(x)が-2より小さい解と3より大きい解をもつような
グラフをお絵かきすると, 次の二つの条件を満たせばよさげ。
ア f(-2) <0
イ f(3) < 0
4+2a-a-9 < 0
9-3a-a-9 <0
∴a<5
∴a>0
アとイをともに満たす範囲が解だから 0<a<5劄
-2
3
IC
負
負

ページ4:

(3) x3 +3x2 + 2x - 6 = 0
→> x=1のとき左辺が0になる
→ 左辺を x-1で割ると
→>
因数定理
+1
+3 +2
-6 | +1
+1
+4
+6
+1
+4 +6
0
(x-1)(x2 + 4x + 6) = 0
4±√-8
-4±2√√2i
x=1
x
=
-2±√2i
2
2
したがって
x=1, -2±√2i 答

ページ5:

(5)指数方程式 4˙+1 +7.2"-2=0を解く。
4x+1 = 4* .4 = 4·(2) だから 4(2")2 +7.2"-2 = 0
=
2" =t(t>0)とおくと
t > 0より
4t2 + 7t - 2 = 0
(4t-1)(t + 2) = 0
=
元に戻して
2%
したがって
1
4
1
--
4
=
x = -2圀

ページ6:

(4) 直線 y=x の点をP(a, a) とおく。
点 Pから直線x+2y-40までの距離が√5だから、
点と直線の距離の公式により
a+2a-4
15
→ |3a-4| =5
V12 + 22
:
a =
∴. 3a-4 = ±5
-
1
3
=3,
したがって, 求める点の座標は(3, 3), (11323 1323
答

ページ7:

(6) 対数不等式 log2 x + 1≧log2(2-x)を解く。
fx>0
真数は正だから
∴0<x<2
・①
2-x>0
右辺を底 2 の対数でまとめると log2 x + log2 2 = log2 2x
よって, 与式は
log2 2x≧log2 (2-x)
底2>1より
2x≧2x
2
②
3
2
①と②をともに満たす範囲が解だから
≦x<2劄
3