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H.24 1月進研記述高1模試@自学 5 AB= 8, AC = 6,∠A= 90°である P 直角三角形ABC がある。 ∠ACB の二等 分線と辺 AB の交点をP, 直線 CP と △A B A BCの外接円の交点のうち点Cでない方の 点を Q とする。 (1) 辺 BC の長さを求めよ。 また, 線分 AP の長さを求めよ。 (2)線分 CP の長さを求めよ。 また, 線分 PQ の長さを求めよ。 (3) △ABC の内心をIとするとき, 線分 PI の長さを求めよ。 また,辺 BC の中点を M, △AQI の重心を Gとするとき 線分 GM の長さを求めよ。 (配点 20 ) C
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自学 (1) 直角三角形ABC で三平方の定理より BC = VAB2 + AC2 = 182 + 62 B P = 10 劄 △CAB で内角の二等分線と比の定理より AP = 3 -AB 8 3 - ×8=3圈 8 B A ⑤ A P 5 5 C 10 10, C
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自学 (2) 直角三角形 APC で三平方の定理より CP=√AP² + AC² = 132 +62 =3√5 笑 BP 8-3=5 = 線分AB と QC でべきの定理より PAX PB = PQ × PC : 3x5 = PQ×3√5 : PQ = √√5 B B A P A P C (2 C
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● 自学 (3) CP は頂点Cの二等分線だから、頂点Aの二等分線と CP との交点がI。 頂点の二等分線 の交点が内心 A A B P C C P I △APC で内角の二等分線と比の定理より AP : AC=PI: CI →3:6=PL:(3√5-PI) ∴. PI = √5
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(3) お絵かき命 自学 Q √5 5 N P 3. √5 I A たぶん合ってると 思う････ C43 B LO M 5 ○重心は頂点から中線を2:1 に分けるから ○△BMN∽△BCA で, 相似比は1:2だから 同様に, MN : CAも 12 だから ○ BP = 5, BN = =4 だから ①と② より C GP = 1…1 BN = 4 MN = 3…① NP = 1 ..2 GN = 2… ② 直角三角形 MNG で三平方の定理より GM: = /MN 2 + GN 2 /32 + 22 = √13 =
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