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基本例 45 立漸化式 (2)
①①①①①
数列 {an}, {bm} をα=1, b=-1,=546, bn+1=a+b で定めるとき
数列 {an}, {bn} の一般項を求めよ。
指針基本例題 44 (1) と同様に,「等比数列を利用」の方針で進めると,本問では
an+1+abn=β(an+αbm) を満たす値の組 (α, β) が1つだけ定まる。
・基本 36,44
→antab=(a+αb) β の形を導くことができるが,これに=b-b を代入
して αn を消去すると bn+1= (1-α)+(a1+abi)β-1 となり, bm+1=pbn+g"
型の漸化式 (基本例題 36のタイプ) に帰着できる。
なお,「隣接3項間の漸化式に帰着」 の方針でも解ける。 これについては別解 参照。
an+1+abn+1=B (an+abn)
.....
① とすると
解答
5an-4bm+α(a+b)=ßan+aßbm
an+1=5an-4bn,
よって (5+α)an+(-4+α)bn=βan+aßb･･
これがすべてのnについて成り立つための条件は
5+α=β, -4+α=aß
(*)
b1=a+b を代入。
これを解くと α=-2,β=3
ゆえに, ① から
an+1-26+1=3(an-20)
また, α-261=3から
an-26=3.3-1=3"
よって
an=26n+3"
(*) の両辺の係数比較。
まず, β=5+αを
-4+α=αBに代入して,
βを消去
{an-26m} は初項3,公
比3の等比数列。
これに a=bn+1-bm を代入すると
bn+1=36n+3n
lan を消去。
両辺を3"+1で割ると
bn+1 bn
1
=
+
3n+1 3" 3
3
数列{2}は初項/12/1 =
-1
==
3
3'
公差 1/3 の等差数列
an+1=pan+g" 型は両
辺を α+1 で割る
(p.468 参照)。
であるから
bn
==
3"
したがって
--/1/31+(n-1)/13-1/2
an=3"-1(2n-1), bn=3"-1(n-2)
-1)・
==
a=2h - 7
