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1-1であるから
したがって
a=1+(1-1)cos0
=(1-1)(2+sin0)
'+83=1+(1-1)cos02+(1-1)92+sin0)?
=12+2(1-1)cos0+(1-1)² cos² 0
+(1-1)(4+4sin0 + sin 20 )
=125(1-1)2+24(1-tcoso
+4(1-1)²sin 0
=22sin-cos0 +3) 2
24sin-cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5
20として, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。
立体を平面 z=t で切った切り口は,半径RSの円で
あるから、立体の体積Vは
V==√ RS²dt = √ (a² + ß³)dt
xf {22sincoso+3)2
よって
1+12
ゆえに
Jo 1+1
+
do
1+tan' cos¹
-S [ローテ
(2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。
与えられた不等式から
x2+y'slog2log(1+27) ...... ①
①を満たす実数x, yが存在するための条件は
log2log (124) 20
すなわち log(1+2) ≦ log2
底は1より大きいから 1+222
よって, zのとりうる値の範囲は
立体 A を平面 z=f(-1
18
口を表す関係式は
中
24sin0 -cos0 +5)t + 4sin0 +5)dt
2sincos0 +3) ー(4sino-cos0 +5)+(4sin0 +5)
nino
masino
4sin02cos0 +6-12sin0 + 3cos0-1512sin+15)
るす
(4sin+cosO+6)
(3)(2)から
V=
'=zg(√17 sin(0 + A) +6)
1
ただし
sin A=-
14
=
cos A=-
√17
√17
√17 CASP
QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値
の範囲は -1sin(0+A)≤1
1)で切ったときの切り
x+ylog2-log (1+t), z=t
ゆえに、切り口の面積を S(1) とすると
S(t) == (log2-log(1+1))
立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める
体積をVとすると
v=25's(nat
V=
== 2 (10g2-log (1+1))dt
=2m[tlog2]-2=[flog(1+19]。
+2=
12
21
土・
dt
1+12dt
=2mlog2-2xlog2+4xo1fades
よって、体積Vの最大値は
6+
- T, 最小値は
3
=4x
-dt
6-√17
ーである。
A
3
したがって,(1)からV=4(1-4)=14−8)
237 体積
238 体積
出題テーマと考え方
出題テーマと考え方
不等式の定める立体(領域)の体積
立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと
きの切り口の断面積をの関数を表す。
質を関数
線分が通過してできる曲面の回転体の体積
(2) 曲面Sの平面 x="での切り口の面積をもの
関数で表す。
12
(1)
dt=
1+12
(1) 平面 x=uで考えると,
右の図のようになる。
2
(x=N)
Sa=[=1
点0'(1, 0, 0)から線分
1
PQ までの距離を1とし
Q
△PQO′の面積を考える
と, PQ=1から
1.1.1 = √1-u²
JP
0
# 1
y
l="√1-u2+ホースリー
t=tan/ (002) とおくと
t
0→1
1
-do
0
0->
COS20
H4
2
よって
