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00
広島大]
2n
(1)
すべての自然数n
k=1k
1
1
106
+
+
2 3
と、等
指針▷ (1) 数学的帰納法によって証明する。
重要
例題
127 無限級数1/n が発散することの証明
(2)無限級数1+
nに対して,
+･･･
M
+1が成り立つことを証明せよ。
2
213
1 n
十 は発散することを証明せよ。
基本 117, 重要 126
4章
15
5
うちの
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
......
2" とすると13
k=1k k=1 k
1
ここで,m→∞のときn→∞ となる。
解答
2"
(1)
k=1
2
(2) 数列{1} は0に収束するから,p.201 基本例題 117 のように,p.199 基本事項 ② ②
i
無限級数
-"b"
[1] n=1のとき 2 = = 1 +
① とする。
11
=
+1
よって、 ① は成り立つ。
2 2
+1
k=1 k
[2]n=m(m は自然数)のとき,①が成り立つと仮定すると 11/12
k=1
算
を算
を利用
る。
2+1
このとき
k=1 k
2m 1
k=1 k
2m+1
1
k=2+1 k
2(+1)+2+1
1
+
+
・+
2m+2
2m+1
x"
m
2
1
1
1
・+1+
+
++
2m+1=2m2=2"+2m
2m+1 2m+2
2m+2m
コーx)
>m+1+
1
2m+1
.2m=
よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。
2+2+2(-2+1)
(k=1, 2, ......, 2"-1)
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 3000
2
im+1+1
2m+k
らば
1] (2) Sn=
n
2 1
とおく。 n≧2m とすると, (1) から
Sn
+1
k
→∞のときn→∞で lin
ここで,m→
lim
moo
2
(+1)=00
=8
よって
limSn=∞
0803
882
したがっては発散する。
an≦bn liman=∞⇒limbn=8 (p.174 基本事項 3②)
81X
11100
n=1n
epox mill
検討 無限級数1の収束 発散について
.
数列{a} が 0 に収束しなければ, 無限級数 ≧ an は発散するが(p.199 基本事項 ② ②),この逆
n=1
は成立しない。 上の (2) において lim=0であることから,このことが確認できる。
00 1
なお,
n=1 n'
non
>1のとき収束, p=1のとき発散することが知られている。
00
んを求めよ。
のを用いて
無限級数
は発散することを示せ。
