赤丸で囲っている不等式のイコールはなぜ付けれるのですか？またそれって必要ですか？

192 947 重要 例題 113 漸化式と極限(b) 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2,3, (1) 0<a<3を証明せよ。 (2)3-an+1 < 3 (3) 数列 {a} の極限値を求めよ。 00 ……)を満たすとき (3-an) を証明せよ。 [類 神戸大] p.174 基本事項 3 基本105 指針>(1)すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。 (2) (1)の結果,すなわち an > 0, 3-a > 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して,一般項 annの式で表すのは難しい。 そこで, (2) で示した不等 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める はさみうちの原理 すべてのnについて nan≦gn のとき 818 limp = limgn=α ならば liman=a 1110 なお、次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1)0 <an<3 ...... ① とする。 [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<ak <3 n=k+1のときを考えると, 0<ak <3であるから ak+1=1+√√1+ak >2>0 ak+1=1+√1+ak <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 08 よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。 (一 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2)3-an+1=2-√1+an (3)(1),(2)から 1 n-1 lim( nco 3 したがって tan2+,/1+an</3(3-an) 0<3-a)(3-as) (3-1) = 0 であるから lim(3-an)=0 N11 liman=3 n→∞ 練習 3 =2, n≧2のときan=- 3 113 数学的帰納法による。 <0<a<3 補足 重要例題1 る場合は とよい。そ 漸化式 ① 極限 liman ②/am 3 27 limk したが 例えば, が考えられ ① 極限 a-1= 漸化式 ant 2 Jan <0<ak から √1+α>1 |an+1 lan- ak<3 から 1+ax < 2 <3-a>0であり, か ら 2+√1+α>3 n≧2のとき, (2) から 3-an<-(3-an-1) <()*(3-- -an- n-1 <(+)*(3-as) -12 Van-1-1/2 を満たす数列 (cm)について (1) すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。 (2) 数列{a} の極限値を求めよ。 〔類 関西大 ゆえに 30< したが 注意 の 例 y

教えてください。

56 第1章 例題21 数学的帰納法と極限 a²+5 (n=1, 2, 3, ...) (2)(1)で示した 1<a, 4 を利用できるように, m+1-1= a²+5 解答 (I) n=1のとき, α=4 より ①は成り立つ 数学的帰納法で (Ⅲ)n=k のとき,①が成り立つと仮定すると, 1<a≦4 +5 +54°+5 より 6 6 6 21 つまり、 Kan+- <4 6 したがって, n=k+1 のときも① は成り立つ。 よって、(I), (II)より, すべての自然数nについて 1<a≦4 が成り立つ。 3.各辺を6で割る。 2.各辺に5を加える A る。 (3)(2)で示した不等式を利用して、 例題17 (p.47) と同様にして極限値を求めればよい (1) 1<a,≦4... ① とおく. 6 0=4, Or+1=6 で定義される数列{a}について,次の問いに答えよ . (1) 1<a,≦4 を示せ. (3) lima を求めよ. 5 (2) ax+1-1≤ (an−1). 考え方 (1) 数学的帰納法を使う. n=k のとき, 1<a,S4 が成り立つと仮定して、 nk+1のときも成り立つことを示す。 (3)②より4-1s(._,-1) なんで 2条になるのです 2条になるので( **** 1 無限数列 57 -2-1) <)ある 第1章 S 10=4 これと (1) より つまり。 0<a.-153() \1 5\" -1の右辺を変 ここでlim3 うちの原理より =0 であるから, ③とはさみ 1-00 はさみうちの原理を 利用する lim (a,-1)=0 よって, lima=1 Focus 予想した lima, の値を利用せよ no より, lima+1=lim a²+5 (2) +1-1=- 02²+5 -1 mim 6 00 0 6 したがって. a= a²+5 6 これより α=1.5 (1) より a=1 「仮定した式について 1.各辺を2乗する。 注2)による誘導がない場合は,次のように考えるとよい. lima=α とすると, 漸化式 +1= a²+5 6 極限値をα とおいて, αの値を予想する. lima.=ab, lim4+1=α a-1 6 =(a+1)(a) m ここで、1<a.4より、 a.+1 4+10 6 6 a.+1 5 6 6 (a+1)(a,-1)≤(a−1) よって, a1= (a,-1)② m +1-1と am - 1 の 100 関係式にする. 因数分解して次数を 下げるのと同時に A (-1) を作る. 各辺に1を加えて 6 で割る。 する 30 131≤lima, a≤4 と予想できるので, lima=1 を示す. 注》例題21の(2)で出てくるという値は何を意味するだろうか.また,例題 21 では,上 手に不等式の評価に持ち込み,その後,その不等式を繰り返し 最終的には「はさ みうちの原理」を用いて{a}の極限値を求めている. このことを次ページの解説で もう少し分析してみよう. 練習 an>1より、 a1= 0, an+1= 21 a2+3 4 (n=1, 2, 3, ......) 10-1>0 **** で定義される数列{a}について、 次の問いに答えよ。 (a) F (8) (1) 0≦a<1 を示せ. (3) liman を求めよ. 00 (2)1-ant <= を示せ. 1-an 2 →p.6111

一本目二本目共に何故そのように表せるのかを教えてください。

例題 17 漸化式と極限 (3) ( a1=1, an+1=√2an+3 (n=1, 2, 3 ......) で定義される数列{a}について,次の問いに答えよ. (1) 数列 {a} が極限値αをもつとき, αの値を求めよ. (2) (1)のαについて, la,+i-als/la-al を示せ. 無限数列 47 **** 第1章 (3) lima=α であることを示せ. 11-0 考え方 (1) lima= α のとき, lima,+1=α であるから, ya y=x/ →00 これを与えられた漸化式に代入して考える. y=√2x+3 求めたαが条件に合うか確認が必要 (2)(1) で求めたα を代入し, 漸化式を用いて不等式の 左辺を変形する。 10 a2a3 TI BM (3) 実際にlima を求める はさみうちの原理を利用する. (=1 解答 (1) lima=α とすると, liman=liman+1=α なので, 無理方程式 →80 漸化式 α+1=√2a+3 より, a=√2+3 両辺を2乗して α=2α+3 より ......1 α=-1,3 α=-1 は ①を満たさないから, α=3 (2)|a,+1-3|=|v2a,+3 -3|=| (2a,+3)-9 1 (p.98 参照) a²-2a-3=0 (a+1) (α-3)=0 α=-1, 3 が①を満 √2a+3 +3 たすか確認する. |2a-6| √2a+3 +3 2 lan √2a+3+3 lan (3)(2)より14,-3|≦12/21an-1-3| *(1)+ よって, |a,+1-3|23|42-31は成り立つ. VII 23 2\n-1 la-31 21 分子の有理化 √2+30 より √2a,+3+3≥3 1 √2a,+3+3 3 (2) をくり返し用いる. |a-3|=|1-3| |=|-2|=2 Focus したここで=1 より, 2, lim 2-1 2\n-1 = 0 とはさみうちの原理より, lim|an-3|=0 よって, lima=3 となり、題意は成り立つ。 liman=α⇒ liman+=α n→∞ n→∞ a=1, an+1=√an+2 (n=1,2,3 ………) 練習 17 で定義される数列{an} について, lima を求めよ. ➡p.619) →∞ ***

(2)の解説の0より大きいの部分はどこから来ているのですか

43 基本(例題 21 数列の極限 (4) ･･･ はさみうちの原理 1 00000 COS Nл また、 (1) 極限 lim を求めよ。 88U n 1 (2) an= + +......+ とするとき, liman を求めよ。 n2+1 n2+2 n²+n n→∞ P.34 基本事項 が成り立 の極限は 二偽である 818 (1) an (2) 指針 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 の利用を考える。 はさみうちの原理 すべてのn について an≦cn≦bm のとき liman=limb =α ならば limc=α (不等式の等号がなくても成立) COS Nл 1 n²+k n n² 12100 bm の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos 0≦1 を利用。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち < 1/12s (k=1,2,....... n)に着目して, an の各項を 1 におき換えてみる。 n² 2章 ③数列の極限 a JR 解答 12700 1 1 n (2) n²+k n² (1)-1≦cOS ≦1であるから lim(-1/2)-0. lim 0.lim=0 であるから U00211 (k=1, 2, ..., n) であるから 1 COS Nπ 1 S 各辺をnで割る。 n n n COS Nπ lim =0 はさみうちの原理。 n→∞ n <n²+k>n>0 1 1 1 an= + +......+ n2+1 n2+2 n²+n 1 1 1 <- + 十 + •n=. n² n2 n² n² n はない) 1 よってokan</ lim -= 0 であるから lima=0 ■各項を12でおき換える。 0≦liman≦0 non 8211 という言葉 はない。大学 C 検討 n=no+1, mt べてこの範囲に E はさみうちの原理を利用するときのポイント 00+26 はさみうちの原理を用いて数列{c} の極限を求める場合,次の①②の2点がポイントと なる。 ① an≦cn≦bn を満たす2つの数列{an},{bm} を見つける。 ② 2つの数列{a}, {bm}の極限は同じ これをα とする)。 なお, ① に関して, 数列{an}, {bn} は定数の数列でもよい。 練習 次の極限を求めよ。 ① ② が満たされ - たとき limc=α →∞ (2) lim + ++ (n+1)2 (n+2)2 (2n)2 1 1 + ・+ p.59 EX16 √n²+n ③ 21 (1) lim 1 る。 1 non+1 2 (3) lim (√ m² + 1 + √ m² + 2 n→∞ -sin- Nπ る。

「有限な値として存在するように書いてしまっている」ってどーゆー意味ですか？

ylim/1 (1-1) =1であるから lim logio an 1 はさみうちの原理。 n→∞ n n→∞ n 注意 はさみうちの原理を誤って使用した記述例 例えば、前ページの例題22の解答で, A 以降を次のように書くと正しくない答案となる。 6 6 0- 2n n Aから 0<lim <lim-=0 n→∞ 2n non n [説明] はさみうちの原理は よって lim =0 n no 2n (a) an≦cn≦bn のとき liman = limb = αならば limC= n→∞ n→∞ 818 これは,「an≦cm≦bnが成り立つとき,極限 liman, limb が存在し,それらがαで一致する n→∞ n→∞ Cn ならば,{c}についても極限lim cn が存在し, それは αに一致する」という意味である。 n→∞ 2 上の答案では、 において,存在がまだ確認できていない極限lim- を有限な値として存 n→∞ 2n 在するように書いてしまっているところが正しくない。 正しくは、 前ページの解答のA, B のような流れで書く必要がある。 数列 練習 実数αに対してαを超えない最大の整数を [a] と書く。[]をガウス記号という。 ③_23_ (1) 自然数mの桁数kをガウス記号を用いて表すと,k= [] である。 (eg) 68 (2) 自然数nに対して3" の桁数を km で表すと, lim kn non である。 [慶応大]

無限級数の範囲です。 検討の赤の下線部についてなのですが、例えばp＝1の時発散してp＝2のとき収束するのは、p＝2の時の方が分母が大きくなるスピードが速いからなのですか？ 違いを教えて欲しいです

kx +1 ① とする。 [1] n=1のとき 21/2=1+1/2=1/2 +1 よって, ① は成り立つ。 [2]=mmは自然数のとき、①が成り立つと仮定すると+1 「このとき 2m 2m+1 21-21+1 k=1 k k=1 k k=2+1k 1 2(+1) +2 +1 +2 +2 2" + + 2m+1 2+1+2+1+2+2 +......+ 1 >" +1 + pos.2" = m+1 +1 2 2m+1 2 ·2"= よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。 1 2m +2m 2m+1=2m2=2"+2" 1 2+2+2 (2) 2m+k (k=1,2, 2m-1) [1] [2] から すべての自然数nについて ① は成り立つ。ちとする (2) S=1/2とおく。 n≧2" とすると, (1) から k=1k Sn m +1 k=1 k limS=∞ 2218 ここで,m→∞のときn→∞ で lim lim(+1)=00 2 m10 8 と したがっては発散する。 n=1 n 無限級数1/n の収束 発散について lan≦bn liman=8⇒limbn= (p.343②) 881 00-16 数列{an} が 0 に収束しなければ,無限級数 2 am は発散するが(p.61 基本事項2②),こ n=1 無限級数 46 の逆は成立しない。 上の (2) において lim -=0であることから,このことが確認できる。 ugu なお n' >1のとき収束, ≦1のとき発散することが知られている。 練習 上の例題の結果を用いて,無限級数方 は発散することを示せ。 p.81 EX 32 5

無限級数についてです。 （2）で、-1,1,-1,1,-1と続くのなら足したものは0か-1になると思うのですが、なぜ発散するといえるのですか？

日本事項 解) 変形す 基本例題 34 無限級数が発散することの証明 次の無限級数は発散することを示せ。 1 5 9 13 + + + 2 3 4 5 +...... COS + COS + COS3+.･････ 63 ①①①① p.61 基本事項2 重要 45 指針 前ページの基本例題 33のように, 部分和 S を求めて {S)が発散することを示すと いう方法が考えられるが,この例題では部分和 S が求めにくい。 そこで, p.61 基本事 項②② 数列{a} が 0 に収束しない 無限級数は発散する(近はなりたたない を利用する。 すなわち, 数列 (4) が0以外の値に収束するか、発散 (∞,-8,振動) することを示す。 aitastast.. 2章 ④無限 an+and 50 CHART 無限級数の発散の証明 → 発散が有効 20 ISG でとまる ↓ 収 分子: 初項1, 公差4 分母: 初項2, 公差1 4n-3 (1) 第n項an は an= n+1 部 解答 3 分 4- ゆえに liman=lim 4n-3 n 最後になってくの等差数列。 €4.442 =lim n→∞ noo n+1 よって、 この無限級数は発散する。 (2)第n項an は kを自然数とすると an=COS nπ 1 [+] n =40 188 < 数列{an} が 0 に収束し ない 2αは発散 n=1 (ただし, 逆は不成立) COS n=2k-1のとき n=2kのとき |1 nが COSnz=cOS (2k-1)π = cos(-π) nが 奇数、 偶数 2 0 1 x =-1 COS n = cos2kz=1 ゆえに, 数列{a} は振動する。 よって, 数列{a} は0に収束しないから、この無限級数 =(-1 は発散する。 Anim 196 と

英文解釈の質問です。 but の後ろのマーカーの主語はどう訳しますか？ can の前のコンマの働きは何ですか？

Vegetables like red peppers, broccoli or asparagus, considered quite ordinary in the West but not a part of the traditional Indian food culture, can now be found at subzimandis.

（1）の変形の青線から青線までのところなのですが、これって作りたい目標の形から条件を変形して行くということですよね。 正直僕は今こんなに上手く条件を使って変形できないのですが、どう考えればこのように変形できますかね。

下 46 要 例題 22 漸化式と極限 (はさみうち 00000 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2,3,.....) によって定められる数列 {a}について,次の(1),(2),(3) を示せ。 [類 神戸大 ] J ( (1) 0<an<3 (2)3-an+1<- +1<1/12 (3-am) (3) liman=3 81U p.33 基本事項 3 基本15 CHART & THINKING 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 漸化式を変形して, 一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 小問ごとに,どのような方針を とればよいのか考えてみよう。 (1) すべての自然数nについての成立を示すから, 数学的帰納法を利用。 そのために、 何 を仮定すればよいだろうか? (2) (1)の結果を利用。与えられた漸化式をどのように使えばよいか考えてみよう。 (3)(1),(2)で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を用いる。 数列{3-4㎡} の極限を 求めればよい。 liman= limb = α ならば lim Cm =α 7210 1218 71100 この不等式の 明のときは はさみうちの原理 すべての自然数nについて ≧≦b のとき 学的帰 法が t (2)の不等式は繰り返し用いる。 どのように利用すればよいか考えてみよう。 解答 (1) 0<an<3 •••••• ・① とする。 [1] n=1 のとき, 条件から 0<α <3 が成り立つ。 [2] n=k のとき, ①が成り立つと仮定すると 0<ak<3 n=k+1 のとき 3-ak+1=3-(1+√1+ax)=2-√1+ak ここで, 0<ak<3 の仮定から 1 <1+ak<4 ゆえに 1<√1+αk <2 よって, 2-√1+α 0 であるから ささ 3-ak+10 すなわち ak+1 <3 1 数学的帰納法で示す。 +1 のときも 0 < ak+1 <3 すなわち k+1 かつ ak+1 <3 が成り立つことを示す。 また、漸化式の形から明らかに 0<ak+1 44 ゆえに, 0<ak+1 <3 となり, n=k+1 のときにも ① は 成り立つ。 (2) 3-αn+1=3-(1+√1+an)=2-√1+an [1], [2] から, すべての自然数nに対して ①が成り立つ。 (2-√1+αn)(2+√1+an)_4-(1+αn) 漸化式から。 ◆分子を有理化。 2+√1+an 2+√1+an 1 -(3-an) ② ← 3-α+1 と同形の3 2+√1+an が現れる。

この文の添削をお願いします🙇🏻‍♀️՞

Plimanogirl mo ② 都会には多くの見どころがある。加えて、優れた公共交通機関があるため,様々な場所を容 易に訪れることができる。 There are Furthermore, (関連テーマ : 都会か田舎か→ 福岡県立大、兵庫県立大) Many places that you should visit in the city.... We can visit various places easily because there are great public transport.