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基本例題 116 ある区間で常に成り立つ不等式
00000
0≦x≦のすべてのxの値に対して,不等式 x-2mx+m+6> 0 が成り立つよ
うな定数mの値の範囲を求めよ。
[類 奈良
基本 82
指針 例題115 と似た問題であるが, 0≦x≦8 という制限がある。ここでは
「0≦x≦8 において常に f(x)>0」 を 「 (0≦x≦8 における f(x) の最小値) >0」
と考えて進める。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
求める条件は,0≦x≦8 における f(x)=x2-2mx+m+6のf(x)
解答 最小値が正となることである。
f(x)=(x-m)2-m²+m+6であるから, 放物線y=f(x)の
軸は直線x=m
となり,最小値はf(0)=m+6
[1] m<0 のとき, f(x) は x=0 で最小
[1]
ゆえに m+6>0
よってm>-6
m<0であるから(*)
-6<m<0
①
[2]0≧m≦8のとき, f(x) は x=mで
最小となり、 最小値は
ゆえに
f(m)=-m²+m+6
-m²+m+6>0
[2]
m
0
8x
=x2-2x+m+6
(0≦x≦3)の最小値
を求める。
→ p.140 例題 82 と
同様に,軸の位置が
区間 0≦x≦8の左外
か,内か, 右外かで場
合分け。
[1] 軸 は 区間の左外
にあるから, 区間
の左端で最小。
[2] 軸は区間内に
あるから 頂点で
最小。
[3] 軸は区間の右外
すなわち m²-m-6<0
これを解くと, (m+2)(m-3)<0から
-2<m<3
にあるから 区間
0m8
x
の右端で最小。
0≧m≦8であるから(*)
0≤m<3
......
②
[3] 8<m のとき, f(x) はx=8で最小
となり,最小値はf(8)=-15m+70
14
[3]
ゆえに, -15m+700からm<
3
(*) 場合分けの条件を
満たすかどうかの確認
を忘れずに。 [1], [2]
では共通範囲をとる。
m
これは8mを満たさない。
求める の値の範囲は, 1, ②を合わ
(*)
0
8
x
(S)
合わせた範囲をとる。
せて
-6<m<3
