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例題 256 三角形の五心と面積
△ABCの垂心をHとし, CH上に
∠ALB が直角になるような点Lをと
★★★
る。 頂点 A, B, C から各対辺にそれぞれ垂線 AD, BE, CF を下ろすと!
き、次の間に答えよ。
(1) AF:FH=CF:FB であることを示せ。
(2) AF:FL=LF: FB であることを示せ
SをS1, S2 を用いて表せ。
(3) △ABCの面積を S1, △AHB の面積を S2 とするとき, △ALBの面積
辺の比が等しいことを示すためには,三角形の相似比を利用する。
(1) AF:FH=CF:FB∽△
(2) AF:FL=LF:FB⇒△□△[
(3)前問の結果の利用
≪Re Action 底辺の等しい三角形の面積比は、高さの比とせよ 例題 255
プロセス
垂
例題
257 折
AB=AC = 4
ABの中点を
次の和の
(1) AP + PM
(1)
見方を変
(AとMがB
(折れ線 AF
M
B
折れ線 AT
E
L
Action»
(2)
定理の
思考プロセス
高さの比
すべて底辺は AB
AABC: AAHB: A ALB = CF: HF:LF
A
(1), (2) から辺の比を求める。
解 (1) ∠ADB= ∠CFB=90°であり,
∠Bは共通であるから
C
直線上にない点Pから
MA AABD ACBF
E,
L
点を、この垂線の足とい
う。
Zに下ろした垂線との交
解 (1) BCに
A'M E
AP-
よって ∠BAD = ∠BCF
すなわち ∠HAF = ∠BCF
また, ∠AFH= ∠CFB=90°
D
H
A
F
B
であるから AAHFACBF
よって、
一致する
はA'M
よって AF:FH = CF:FB
(2) ∠FAL + ∠FLA=90°
<FLB + ∠FLA =90° より
<FAL = ∠FLB
また,∠AFL = ∠LFB=90°
E
L
D
であるから
AAFLALFB
AB 1 LF
AL + LB
例題
144
したが、
(2) AMC
中線定
AP2
よって
H
AF:FL=LF:FB
A
F
LF2 = CF.FH
B
(1)より
AP2 +
・①
468
CF:LF=LF:FH
AHB, △ALB の底辺を AB とすると
よって
例題
255
△ABC,
これと① より
1:S2:S = CF:HF:LF
S:S=S:S2
すなわち S2S1S2
S>0より, ALB の面積は
S=√SS2
AF・FB = CF・FH
PNが
(2) より
この
LF=AFFB
S は St, S2 の相乗平均
よって
練習 257 Z
い
る
(1
(数学IIで学ぶ)である。
練習 256 △ABC の中線 BM, CNの交点をG, △ABCの面積をSとするとき, GBC
および GMNの面積をSを用いて表せ。
p.478 問題256
