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基本 例題 30 群数列の応用
1 2
3
1'2'2
'
43
5
6
7
8 9 10
11
3
9
4'4'
3'
00000
4'4'5' の分数の数列について、
初項から第 210 項までの和を求めよ。 ×
[類 東北学院大]
指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。
分母: 12,23, 3, 34, 44, 45,
1個 2個
3個
4個
******
第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子: 12,34, 5, 67, 8, 9, 10 | 11,
......
分子は, 初項1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分
は等しい。
まず第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
10 | 11
9
34 5 6 7 8
4'4'45'
23'3'34'
解答
第1群から第n群までの項数は
1+2+3+…+n=1/21n(n+1)
第210項が第n群に含まれるとすると
もとの数列の第項は
分子が k である。また
第群は分母がんで、
個の数を含む。
これから第n群の最
の数の分子は
重要
自然数
(1)
有
然料
(2)
る
よって
(+8)=808(1+n(n+1)
(n-1)n<210≤n(n+1)
(n-1)n<420≦n(n+1)
......
①
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 である
から ①を満たす自然数n は n=200URS
また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数
である。 ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
･･20・21=210
一般込
1/17 121/12n(n-1)+1}+(n-1) 1)÷1
n
= n(n²+1)÷n=n²+1
ゆえに、求める和は
20k2+1
2
は第群の数の分
子の和 等差数列の和
1 20
20
n{2a+ (n-1)d)
k=1
2
k² +Σ
1/20-21.41
k=1
k=1
++ 20 )
=1445
