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f(x)はその区間で単調に減少する
関数の符号と関数の増減
を用いて、f(x) の増減を調べればよい。
なお、f'(x)=3.x(x-2)の0sxs4における様
号は次のようになる.
y=f(x)
0
[2] 積分法
【ⅡI型共通 必須問題】 (配点 50点)
2分法
e
はα>1を満たす実数, b は実数とする.
xy平面上に、2つの放物線
C:y=2x2, Cry=-x^+(5-c)x+6
がり 2 は,上の点P(1.2) を通る。 また、
P における C の接線を1とする。
(1) を を用いて表せ。 また, I の方程式を求
めよ.
(2) C2 とで囲まれた領域をDとする.
(i) C2 との交点のうち, P以外の点のx座
標をαを用いて表せ。
(Ⅱ) 領域Dの面積をSとするとき, Sをαを
用いて表せ
領域Dのうち、不等式 y≧2x" を満たす
領域をEとする。 領域の面積が4となる
ようなaの値を求めよ.
<設問別学力要素》
分野・内容 配点
50m [
【配点】
(1) 12点
(2) 38点 (1) 8点 () 14点 () 16点
(2X4)
(2)
(2)
2
配点
(12)
18 〇
[4]
16
知識 思考力
技能
表現力
解答
C₁:y=2x².
C₂y=-x²+(5-a)x+b
において、
f(x)=2x², g(x)=−x² + (5—a)x+b
とする。
(1) 2 が P(1,2)を通ることより。
g(1)=-1+5-a+b=2.
b=α-2
f'(x)=4x より PにおけるCの接線の
方程式は,
y-2-f(1)(x-1).
y-2=4(x-1).
y=4x-2.
(2)(1) 以下、h(x)=4x-2 とする。
C₂y=g(x), :y=h(x)
を連立してyを消去すると、
h(x)-g(x)=0.
***2
C2との共有点のx座標は、方程式 ②
の実数解である。
h(x)-g(x)=(4x-2)-{x+(5−a)x+b}
=x²+(a-1)x-a
= (x+ a)(x-1)
より ② の解は
x=-ℓ. 1,
このうち、 P 以外の点のx座標、すなわ
ち, x=1を満たすものは
x=-a.
>>1より -α <1 である。
h(x)=g(x)=(x+a)(x-1)
であるから asxsにおいて
h(x)-g(x) ≤0
すなわち､
g(x)=h(x).
よって、領域Dの面積Sは
S=f(g(x)-h(x)}dx
--f(x+ a)(x-1)dx
