-
![]()
基本 例題 150 n 進数の桁数
(1) 2進法で表すと10桁となるような自然数Nは何個あるか。
00000
[(1) 昭和女子大
(2) 8 進法で表すと10桁となる自然数Nを, 2進法, 16進法で表すと、それぞ
れ何桁の数になるか。
基本 166 149
指針 例えば、 10進法では3桁で表される自然数 A は, 100 以上1000未満の数である。
よって、 不等式 10°A <10° が成り立つ。
指数の底はそろえておく方が考えやすい
また、2進法で表すと3桁で表される自然数Bは, 100 (2) 以上 1000 (2) 未満の数であり、
100 (2)=22,10002=2であるから, 不等式 2B<2" が成り立つ。 同様に考えると、
n進法で表すと α 桁となる自然数Nについて,次の不等式が成り立つ。
na-≤N<n"
(1) 条件から, 210-1N210 が成り立つ。
←SN<nat ではない!
別解 場合の数の問題として考える。
(2) 条件から 810-1 N < 810 が成り立つ。この不等式から, 指数の底が2または16
のものを導く。 8=23, 16=24に着目し, 指数法則 am+" = a"a", (am)" = ame
を利用
して変形する。
n 進数Nの桁数の問題
CHART
まず,不等式 n桁数-1- N桁数の形に表す
解答
(1) Nは2進法で表すと10桁となる自然数であるから
210-1≦N210 すなわち 2°N <210
< 20≦N <210+1は誤り!
この不等式を満たす自然数 Nの個数は
21−2°=2°(2-1)=2°=512(個)
別解 2進法で表すと, 10桁となる数は,
100(2)
の□に0または1を入れた数であるから,この場合の
数を考えて 2°=512(個)
(2Nは 8 進法で表すと10桁となる自然数であるから
810-1 N810 すなわち 8°N <810 ..
①から
(23)≤N<(23) 10
すなわち 227 N <230.
したがって, Nを2進法で表すと, 28桁, 29桁, 30桁
の数となる。
また,②から
ゆえに
(2)6.23≤N<(24)7.22
8・16°N <4・167
16° <8・16° 4・167 <16° であるから 16°<N<16°
2°≦N≦2-1と考え
(21−1)-2°+1 として
求めてもよい。
重複順列。
<277 SN < 228 から28
28N <228 から29
229 N <230 から30
なる。
したがって, Nを16進法で表すと, 7桁, 8桁の数と
16° <N <16°から7枚
16'N < 16°から8
