IC 漸化式の応用
Link
応用
例題
イメージ
6
5
解
平面上に2本の直線があって、それらのどの2本も平行でなく,
また,どの3本も1点で交わらないとする。 これらη本の直
線が,平面を an個の部分に分けるとき, annの式で表せ。
1本の直線で, 平面は2つの部分に分けられるからα=2
次に, n本の直線により, 平面が
an個の部分に分けられていると
き (n+1)本目の直線 l を引くと,
lは既にある n本の直線とn個
3
10
の点で交わり, これらの交点に
よって, l は (n-1) 個の線分と2
個の半直線に分けられる。
4
2
15
練習
第1章
数列
これらの線分と半直線は,それぞれ, それが含まれる各平面
の部分を2つに分けるから, 直線 l を引くことにより,平面
の部分が (n+1) 個増加する。 よって
an+1=an+(n+1) すなわち an+1-an=n+1
数列 {an} の階差数列の第n項がn+1であるから,
n-1
n≧2のとき an=a+(k+1)=2+1/2(n-1)n+(n-1)
an
よって
==
1
-(n2+n+2)
2
①
① で n=1 とすると α = 2 が得られるから, 1 は n=1のと
きにも成り立つ。
したがって, 求める式は
an
=
(n²+n+2)
2
n本の直線によって, 交点はいくつできるか。