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演習 例題2224次関数のグラフと2点で接する直線
関数y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
[類 埼玉大] 基本199
指針▷次の①~③の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4), s≠t]。3の考え方で解いてみよう。
①点(t, f(t)) における接線が, y=f(x)のグラフと点 (s, f(s)) で接する。
(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
③ y=f(x)のグラフと直線y=mx+nがx=s,x=tの点で接するとして、
f(x)=mx+nが重解s, tをもつ。 → f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-t)^
解答
y=x(x-4) のグラフと直線y=mx+nがx=s,x=t
(st) の点で接するとすると、次のxの恒等式が成り立つ。
x³(x-4)-(mx+n)=(x−s)²(x−t)²
(左辺)=x^-4x-mx-n
(右辺)={(x-s)(x-t)}'={x2-(s+t)x+st}2
=x4+(s+t)2x2+s2t2-2(s+t)x-2(s+t)stx+2stx2
=x¹−2(s+t)x³+{(s+t)²+2st}x²−2(s+t)stx+s²t²
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
-m=-2(s+t)st
①から
s+t=2
③から m=-8
2JX
①, 0=(s+t)^2+2st
③, -n=s²t² ...... 4
これと②から
④から
st=-2
n=-4
②,
ya
NX
下の別解は、指針の①の考
え方によるものである。
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<s≠t を確認する。
s, tu²-2u-2=0の解で,これを解くと
u=1± √3
よって, y=x(x-4) のグラフとx=1-√3,x=1+√3の点
で接する直線があり, その方程式は
y=-8x-4
別解y'′=4x-12x² であるから, 点 (t, t (t-4)) における接線の方程式は
y-t³(t-4)=(4t³-12t²)(x-t) 5 y=(4t³-12t²)x-3t4+8t³
(*)
x4-4x3=(4t3-12t2) x-3t+8t tと異なる重解をもつことである。
この直線がx=s (s≠t) の点でy=x(x-4) のグラフと接するための条件は, 方程式
(x-t)^{x^2+2(+-2)x+3t2-8t}=0
これを変形して
よって, x2+2(-2)x+3t2-8t=0
Aの判別式をDとすると
t2-2t-2=0
D=0 とすると
このとき, Aの重解はs=-(t-2)=1+√3(複号同順)
t=1±√3はピ-2t-2=0 を満たし
3+4+81³= -(t²-2t-2) (3t²-2t+2)−4=−4
D=(1-2)²-1·(31²-8t) = -2(t²—2t—2)
これを解くと
Aが, tと異なる重解 s をもてばよい。
t=1±√3
4t³-12t²=4(t²—2t-2)(t-1)-8=-8
ゆえに,(*) から
よって, s≠tである。
y=-8x-4
SMA
CH
|√=3a
おける
すなわ
この接
f(
(t) Ot
