例題 2234次関数のグラフの接線 思考プロセス 例題 221 f(x) = x-4x-8x°とする。 **** (1) 関数 f(x) の極大値と極小値,およびそのときのxの値を求めよ。 (2) 曲線y=f(x) に異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。 (北海道大) ReAction 接線の方程式は、接点が分からなければ (t, f(t)) とおけ 例題 218 (2) 段階に分ける 曲線 y=f(x) 異なる x=t における y=f(x) の接線が x=t 以外の点で再びy=f(x)に接する。 の方程式とy=f(x) を連立すると (x-t) (xの2次式)=0 x=t 以外の重解 ARES 0-(-x=t (1) f'(x) =4.x-12x²-16x=4x(x+1)(x-4) f'(x) = 0 とすると x = -1,0,4 よって,f(x)の増減表は次のようになる。ゴ y=f(x) 再び接する x -1 0 ... 4 |f'(x) 共 0 +0 0 + YA y=f(x)| f(x) -30V -128 7 -10 4 したがって x=0のとき極大値 0 N x=1のとき極小値 3 -3 x=4のとき極小値-128 -128 (2) 曲線y=f(x) 上の点(t,t-4-8t2) における接線 の方程式は,f'(t) = 4t-12-16t g y-(4-4t3-8t2) = (4t³ - 12t² - 16t)(x-t) y= (4t-12-16t)x-3t+8 + 8t? ① と y=f(x) を連立すると .. 1 x-4x³-8x2 = (4t3-12t2 - 16t)x-3+4 +8t3 +8t² (x_t)^{x2+ (2t-4)x+3t2-8t-8} = 0 ①が曲線 y=f(x) と x = t 以外の点で接するのは x2+(2t-4)x +362-8t-8=0... ②がx=t 以外の この接線は1つの接線に 対して、2つの接点が 応している。 このような 接線を複接線という。 例題 218 Point 参照。 x = tで接するから, xt) を因数にもつ。 重解をもつときであるから, ② の判別式をDとする方式 D 4 D=0 141=(t-2)2-(3t-8t-8)= -2t + 4t + 12 よって, 2-2-60 より このとき②重解は t=1±√7 =24-4-t+2=1√7(複号同順) 2 398 これは, tと異なる。 はない

12 約 325 3次関数が極値をも をもつ ここで, tはピ-2t-60 を満たすから 4t-4 t2-21-6) 4t3-12t2-16t 4t3 - を求めよ - 8t2-24t 4t + 8t 4t2 + 8t + 24 -24 - 3t2 + 2t-6 32-21-6)-3tª¹+8t³+ 8t² - 3t4 + 6t + 18t2 真中地の前で 2t310t2 除法を行い, 次数を下げ る。 t-2t-6=0 より t2 = 2t+6 よって 4t3-12t2-16t =4t(t-3t-4) = 4t(-t+2) = -4t2 +8t |=-8t-24+8t = -24 のように次数を下げても よい 213412tnoish - - 6t2 + 12t 増加するすべての 6t2 +12 + 36 -3645 よって数の 値 値に 4t3-12t2-16t = (t2-2t-6) (4t-4)-24-24 (t2-2t-6)(4t-4)-24 as-X -3t + 8t + 8t° = (t2-2t-6) (-3t2+2t-6)-36= -36 したがって, 求める接線の方程式は,① より 010-(C)\ +pe (1 as=(8)\ y=-24x-36 とすると 〔別解) 3人