女 例題
直線と面積の等分
129
3点A(6,13), B(1,2), 9, 10) を頂点とする △ABCについて
①1点Aを通り, △ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。
(2) 辺BC
3-31
Tx
方程式を求めよ。
を通り、 △ABCの面積を2等分する直線の
3に内分する点P
基本 73,76
3
指針 (1)
(2) 求める直線は, 点P BCの中点より左にあるから,辺
AC と交わる。 この交点を Q とすると,
等角→ 挟む辺の積の比(数学A:図形の性質)
三角形の面積比 等高なら底辺の比であるから、求める直線は,辺BC を同
じ比に分ける点 すなわち辺BCの中点を通る。
13
により
ACPQ CP·CQ 1
AABC CB・CA 2
=
これから,点Qの位置がわかる。
P
解答
(1) 求める直線は,辺BCの中点を通
る。この中点をM とすると,その
YA A(6, 13)
Q
△ABM と △ACMの高さ
C(9, 10)
1+9
2+10
は等しい。
座標は
2
2
すなわち
(5,6)
よって, 求める直線の方程式は
B(1,2)
O
y-13=6-13(x-
(x-6)
異なる2点 (x1, yi),
5-6
したがって y=7x-29
BM
(x2,y2) を通る直線の方程
式は
2)点Pの座標は (3・1+3
9 3.2+1.10
すなわち (3,4)
1+3
y-y₁=
Y2-1 (x-x1)
X2-X1
分するための条件は
AePQ
CP:CQ
=
AC上に点Q をとると, 直線 PQ がABCの面積を2等
3CQ
△ABC=1 CACBsin C,
AABC
CB・CA4CA
ゆえに
CQ:CA=2:3
なぜこうなる。
=
ACPQ-1/2CP-CQsinC
よって, 点 Qは辺CAを2:1 に内分するから、 その座標は
ACPQ CP:CQ
から
1.9+2.6 1.10+2・13 すなわち (712)
AABC CB-CA
2+1
2+1
したがって、 2点 P Q を通る直線の方程式を求めると
y-4=
124 (x-3) すなわち y=2x-
7-3
また BC:PC=4:3
2303431) ba (12
