問題 56 5 以上の素数の2乗を12で割ると1余ることを証明せよ。
5以上の素数を6で割った余りは0, 2, 3, 4になることはない。
よって, pを6で割った余りは,または5であるから,
は整数を用いて
p=6k+1,p=6k+5
のいずれかの形で表される。
(ア) p = 6k+1 のとき
p2 = (6k+1) = 36k + 12k +1
=
12(3k + k) +1
んは整数であるから, 3k2+k は整数である。
ゆえに、 を12で割った余りは1である。
(イ)
のとき
=6k+5
p2 = (6k+5)2 = 36k +60k+25
=12(3k +5k+ 2) + 1
kは整数であるから, 3k+5k+2 は整数である。
ゆえに、 が12で割った余りは1である。
(ア)(イ)より,5以上の素数の2乗を12で割ると1余る。
★ 6で割った余りが0, 2,
3,4となる数はそれぞれ
6の倍数,2の倍数, 3の
倍数 2の倍数である。
よって, 5以上の素数か
を6で割った余りが0, 2,
2
章
3,4となることはない。 5
sa
命題と論証