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36 色塗り (2)
立方体の各面に隣り合った面の色は異なるように色を塗りたい.ただ
立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす. このとき,次の間
いに答えよ.
(1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか
(3) 異なる4色をすべて使って塗る方法は何通りあるか
(2)異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか.
(琉球大)
回転して重なるものは同じ塗り方になり
精講
ますから,ポイントは,色を塗る場所を
固定するということです. なぜなら,塗る場所を固定
色を塗る場所を固定すると,
動きが制限される.
すると
「動きが制限される!」
からです.
例えば(1)で, 6色のうちに赤が含まれるとして 1
つの面に赤を塗ってみます。
①
②
①も②も回転すると重なりますから,どの面に赤を
塗ろうが本質的に①と同じですね. だから,まず赤は赤は上面に塗ったと思ってよ
上面に塗ったと思ってよいわけです. よって, 上面に
赤を固定すれば,赤の位置を変えない動きは
い
上面が赤であるような動きは
許される.
第3章 場合の数 実戦編 145
は2面塗らないといけません.さらに,同じ色が隣り
合ってはいけないので,1つの対面に同じ色を塗る必
要があります。 そこで, 上面と下面に同じ色を塗り固
(2)では, 5色で塗り分ける方法なので,どれか1色
定すると
(1)と同様に側面の回転についてはオッケーですね .
ところが今回は、面と下面が同じ色なので上面と
下面の入れかえも許されることに注意すると、側面は
4色のじゅず順列になります。
よって, 2面塗る色の決め方が5通り側面はじゅ
(4-1)!
ず順列で5×
2
通りとなります。
(1) 上面の色を固定すると、底面
の塗り方は5通りあり、側面は
4色の円順列となるから
5×(4-1)!=30通り
◆上面と下面を入れかえても色
の位置は変わらない
第3章
解答
赤を固定
側面は
◆赤を上面に固定すると側面は
円順列!
5通り
円順列
(4-1)!
通り
◆上面と下面に同じ色を塗ると.
側面はじゅず順列!
(2)5色で塗る場合, 対面が同じ
色となるものが1組できる. し
たがって,上面と下面を同じ色
に塗ると,その色の決め方が5
通り、側面は4色のじゅず順列
となるから
上面と下面の色を
固定(5C1通り)
回転のみ許される
ということになります. したがって, 下面の塗り方が
5通り, 側面が4色の円順列になりますので,
(4-1)! 通りとなり, 6色で塗る方法は
5×(4-1)!=30通りとなります.
側面はじゅず順列
5X
(4-1)!
2
(4-1)!
-=15通り
一通り
2
(3) 4色で塗る場合, 対面が同じ
2面塗る色を2つ
◆下面に塗る色を決め、側面を
塗る.
色となるものが2組できる. し
したがって、その色の決め方が
42通り,さらにこの塗り方に
対して残りの2色の塗り方は1
通りしかないからC2×1=6通り
決めると,塗り方
は1通り
対面が2組同じ色だと, 残り
の面をどう塗ろうが同じ塗り
かたになる. (残りの面が
対になるように回転すると
なる.