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題 206 反復試行(6) 最大確率
1個のさいころを13回続けて投げるとき, 6の目がん回出る確率をP
する.このとき,次の問いに答えよ.ただし, 0≦k≦13 とする.
(1) Pl, Pk+1 をkの式で表せ.
(2) Ph が最大であるkの値を求めよ.
司 (2) Pk と Pk+1 の大小関係 (Pr> Pk+1, P<Pk+i) を調べる.
(1) 13 回の試行で, 6の目が回出るとき, 6の目以外は「6の目が出ない」
13-k
は「6の目が出る」
の余事象
IS
(2)
(13-k) 回出るから, P₁= »C₂(1)(2)"
Pk=13Ck
同様に, 0≦k≦12 のとき,
Pk+1=13Ck+10
+
P1+1
PR
1k+1/5\13−(k+1)
6
6
13!
(k+1)! (12-k)! \ 6
13!
k! (13-k)! 6
1 1
6
X
k+1
1
5
13-k 6
1 \k+1/5
6
5
タ) (1) (2) 1
Pk+1
13-k
Pk 5(k+1)
=13Ck+10
13-k
5(k+1)
\12k
\13-k
1\k+1/5
6
となり,
よって,k=2 のとき最大となる.
- ≧1 を解くと,
よりk1のとき, Ph+11 つまり Pr<P+1
PR
4
k≤3=1.33...
Pk+1 < 1 のとき, (i)より, k>1.33...
Pk
12-k
Pk+1はPkのkに
+1 を代入すると
よい.
(k+1)!= (k+1).k!
(13-k)!
=(13-k)(12-k)!
1
6(k+1)
k=
×
=1/3のとき
より
2のとき,Pk>Pk+1
(i), (ii)より,k=0 のとき Po<P,k=1のとき Pi<P20123
k=2のとき P2P3, k=3のとき P3> Pa,
P<P, <P2>P3> PA>......>P13
6(13-k)
5
Pk=Pk+1 となるが.
k, k+1が整数とな
らないので不適
おおよそ下の図
1213 k
具体的に代入して書
き並べる.
PR+1>Ph P+11 (大小比較は、差をとるか比をとる )
PR
AB を示すのに, A-B>0 を示す (差をとる) 方法がよく用いられるが,両辺が
のときは, 比をとって1と比べる方法も便利である.
