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基本 例題 22 数列の極限 (5) … はさみうちの原理 2
...
00000
nはn≧3の整数とする。
1
(1) 不等式 2">=nが成り立つことを, 二項定理を用いて示せ。
6
(2) lim の値を求めよ。
n→∞ 2n
指針 (1)2=(1+1)" とみて, 二項定理を用いる。
(a+b)"=a"+nCa"-16+nCza"262+......+nCn-1ab1+6"
基本21
(2) 直接は求めにくいから,前ページの基本例題 21同様, はさみうちの原理を用
いる。 (1) で示した不等式も利用。なお、はさみうちの原理を利用する解答の書き方
について,次ページの注意も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
nun
2-T
5
=
6
6
1
よって
2">≒n3
6
6
(2) (1) の結果から
よって
lim-=0であるから
non
6
(1) n≧3のとき
解答
2"=(1+1)"=1+1+nCa+....+nCn-1+1
≧1+n+1/12n(n-1)+1/n(n-1)(n-2)
+1/+1>1/13
6
(
| (等号成立はn=3のと
き。)
0=
mil
である
(S)
SI=A)
n=1,2の場合も不等式
は成り立つ。
<2≧1+nCi+nCz+nC3
0< <
2n
3
各辺の逆数をとる。
n²
0
2n
6|n
A
各辺に n² (0) を掛け
る。
lim-
no 2n
=0
.....
B
はさみうちの原理。
