*213 上面の半径が10cm, 深さが20cmの直円錐形の容器が,その軸を鉛直にし 1729 て固定されている。 この容器に毎秒3cmの割合で静かに水を注ぐとき, 水 の深さが6cmになった瞬間の, 水面の上昇する速さと, 水面の面積の増加す る速さを求めよ。

=10+10-= 213 ■指針 ■ 118 注ぎ始めてからt秒後の水の深さをcm水 面の面積を Scmとすると dh 水面の上昇する速さ = dt dS 水面の面積の増加する速さ dt 体積や水面の面積をhを用いて表す。 注ぎ始めてから 秒後の水面の半径 10cm をcm, 水の深さ をcm, 水の体積 rcm を Vcmとする。 20 cm hcm 条件から r:h=10:20 h すなわち 1= =2 CHHOTA SIS h\2 よって = π 2 h= 12 dV tで微分して dt π V = 44² dh h2 2_ dt dV 条件より =3であるから,h=6のとき dt ゆえに 3=1.62.. 4 dh 1 = dt 3π よって,水面の上昇する速さは dh dt cm/s 3π また, t秒後の水面の面積を Scm とすると h\2 π S=ny2 = T = 2 4(E) tで微分して ·h Job dS TC dh = dt 2 dt h=6のとき, 水面の面積の増加する速さは dS dt π 1 .6. 3π 間で上に凸であ =1 (cm²/s)= Joi 1420