2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
5
③111 1
3 1 3 5 7 13
2 4'4'8 8'8'8'16'16'16'
について,第1項から第100項までの和を求めよ。
15 1
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
31 3 5 7 1 3 5
1/1
"
"
48 8 8 816'16'16'
1632
第k群には2k-1 個の項があるから, 第1群から第n群までの
三項の総数は
"
1+2+22+••••·· +2"-1=
第100項が第n群の項であるとすると
2-1-1<100≦2"-1
2-1-1, 2-1は単調に増加し, 261=63, 27-1=127 である
から,①を満たす自然数nは n=7
第6群の末項が第63項となるから 100-63=37
したがって, 第100項は第7群の第37項である。
ここで,第n群の頭の和は
k=1
12/17 (1+3+ (21))=12/18/1/12"(1+ (2°-1)}
2"
①
= 22-2
更に,各群のん番目の項の分子は2k-1である。
よって, 求める和は
6
②
2-1
2-1
2,2'-2+1/2/7 (1+3+.... +(2・37-1)}
126-1 1
+
2 2-1 128
-=2"-1
.
+37²
1369 5401
1463+ 128 128
T
1
b=
-(1
15 1
16'32'
|2-1
←初項1,公比 2,
の等比数列の和。
←2°-1=63
〔類 岩手大〕
k=1
Z
を前に出しているのは設問の初ゆえ?
(p.511 EX73
← は第n群の分子の
和で初項1, 末項2-1
項数 2-1の等差数列の和
←1+(k-1) ・2=2k-1
数n
+22-2-2-2-1
k=12
←1+3+5+ ······
+(2n-1)=n²
LALU LIN
24=1/2 初公比2,頃数6の等数列
という意味ですか
