-
![]()
356
56
解答
重要 例 224 区間に文字を含む3次関数の最大・最小
0000
f(x)=x-6x2+9x とする。 区間 a≦x≦a+1におけるf(x) の最大値(a)
求めよ。
指針 この例題は、区間の幅が1 (一定) で、区間が動くタイプである。
+1をx軸上で左側から移
まず,y=f(x)のグラフをかく。次に、区間 a≦x≦a+1 をx軸上
ながら、f(x) の最大値を考える。
場合分けをするときは、次のことに注意する。
区間で単調増加なら, 区間の右端で最大。
区間で単調減少なら, 区間の左端で最大。
両極値をとるxの値がともに区間に含まれることはないから
© 区間内に極大となるxの値があるとき, 極大となるxで最大
① 区間内に極小となるxの値があるとき, 区間の両端のうちf(x) の値が大きい
で最大→区間の両端で値が等しくなる場合が境目となる。すなわち、
f(a)=f(a+1) となるα とαの大小により場合分け。
®
D
[2] <Sa+1 すなわち
0sa <1のとき
f(x)はx=1で最大となり
M(a)=f(1)=4
次に, 2<a<3のとき
とすると
a-6a²+9a-a³-3a²+4
3a2-9a+4-0
ゆえに
よって
Q=
[2] y
__(-9)(-9)-4・3・4
2-3
2<a<3と5<√33 <6に注意して
[3] 1≦a<
9+√33
6
のとき
f(x)はx=αで最大となり
M(a)=f(a)=a-6²+9a
最大
f'(x)=3x2-12x+9
=3(x-1)(x-3)
f'(x)=0とすると
x=1,3
f(x) の増減表は次のようになる。
x
3
f'(x) +
20
0
f(x) >
|極大
極小
4
20
9+√33
[4]
Saのとき
6
f(x)はx=a+1で最大となり
M(a)=f(a+1)=α-3a²+4
357
最大
指針の [区間内に極大
となるxの値を含み、そ
のxの値で最大] の場合。
Oal 3
9±√33
6
9+√33
α-
6
[3]y*
最大
a+1
a+1
[4]y
指針の [区間で単調減
少で、左端で最大)また
1 [区間内に極小とな
るxの値がある] のうち
区間の左端で最大の場合。
最大
指針の [区間内に極小
となるxの値がある] の
うち、 区間の右端で最大
の場合、 または指針の
La+1
[区間で単調増加で, 右
0 1
/3
端で最大] の場合。
a+1
y=f(x)|
解答の場合分けの位置の
メージ
以上から a<0,
9+√33
6
≦a のとき M (a)=a-3a2+4
y=f(x)
0≦a<1のとき M(α)=4
9+√33
1≤a<
6
のとき M (a)=a6a+9a
01
x
[01
a 3 atli
a+1
検討
よって, y=f(x) のグラフは右上の図のようになる。
ゆえに,f(x)のa≦x≦a+1における最大値 M (α) は, 次
のようになる。
3次関数のグラフの対称性に関する注意
p.344 の参考事項で述べたように, 3次関数のグ
ラフは点対称な図形であるが, 線対称な図形で
はない。 すなわち, 3次関数がx=pで極値をと
るとき 3次関数のグラフは直線x=pに関して
対称ではないことに注意しよう。
3次関数の
グラフ
放物線
柚
a+(a+1)
[1] α+1 <1 すなわち <0 の
とき
[1]9
4F
f(x) は x=α+1で最大となり
M(a)
最大
指針のA [区間で単調
加で、右端で最大] の場
合。
上の解答のαの値を
-=3から
2
対称ではない
(線)対称
Q=
a=1/2としてはダメ!
=f(a+1)
=(a+1)-6(a+1)+9(a+1) a 01
=a³-3a²+4
3
Na+1
なお、放物線は軸に関して対称である。このことと混同しないようにしておこう。
練習 f(x)=x-3x2-9x とする。 区間t≦x≦t+2におけるf(x)の最小値 m (t) を求め
224 よ。
224
27-50+20
TRY=1
f(x)=3x²-12x+9
=ろしピー4X+3) f
=3(x-3)(x-1)
6章
6 最大値・最小値、方程式・不等式
70-04
74400
