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基本 例 74 2次関数の係数の符号を判定
2次関数y=ax2+bx+cのグラフが右の図のようになるとき,
次の値の符号を調べよ。
YA
上に凸
(1) a
(2) b
(3) c
(4)62-4ac
p.124 基本事項 2
(5) a+b+c
(6) a-b+c
指針
グラフが上に凸か下に凸か, 頂点の座標, 軸の位置, 座標軸
との交点などから判断する。
b2-4ac
(1) αの符号 a>0⇔下に凸
a < 0⇔上に凸
4a
a+b+c
(2)の符号 頂点のx座標 2a
b
-
に注目。
-1
HO
1 b
αの符号とともに決まる。
(3)cの符号y軸との交点が点 (0, c)
C
2a
基
放物
れる
指
la-b+c
(4) 62-4acの符号 頂点の座標
(5)a+b+cの符号
2-4ac に注目。
4a
αの符号とともに決まる。
y=ax2+bx+cでx=1とおいたときのyの値。
y=ax2+bx+cでx=-1とおいたときのyの値。
Aa
(6) a-b+cの符号
(*) y=ax2+bx+c
(1) グラフは上に凸であるから
a <0
b2-4ac
解答 (2) y=ax2+bx+c)の頂点の座標は (2)
b
=(x+2
4a
b2-4ac
頂点のx座標が正であるから
b
2a
>O
よって
b
2a
<0 (1) より, a < 0 であるから
b>0
(3) グラフはy軸とy<0の部分で交わるから
c<0
(4) 頂点のy座標が正であるから
b2-4ac
4a
->0
(1)より, a<0 であるから
b2-4ac > 0
(5)x=1のとき
y=a・12+6・1+c=a+b+c
グラフより, x=1のときy>0であるから
a+b+c>0
(6)x=1のとき y=α・(-1)+b・(-1)+c=a-b+c
グラフより, x<0のときy<0であるから
a-h+c<
A
>0⇔AとBは
<0
同符号。
<0⇔AとBは
異符号。
(4) グラフとx軸が
異なる2点で交わ
から b2-ac>
を導くことができ
詳しくは p.175
照。
