重要 例題 96 関数が極値をもたない条件
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αを正の定数とする。 関数 f(x) =e-ax+alogx (x>0) に対して,f(x)が極値
をもたないようなαの値の範囲を求めよ。
++
〔類 東京電機大]
基本9495
微分可能な関数 f(x) が極値をもつための条件は, 前ページで学んだように
指針
あるいは
である。
解答
f'(x) =0を満たす実数 x が存在する かつその前後でf'(x)の符号が変わる
であった。よって、f(x)が極値をもたないための条件は,上の否定を考えて
f'(x) =0を満たす実数x が存在しない
常にf'(x) ≧0 または f'(x)≦0 が成り立つ
→f'(x) の値の変化を調べる必要がある。 この問題では,f'(x) の式の中の符号がす
ぐにはわからない部分を新たな関数 g(x)として、f'(x)の代わりにg(x) の値の変化
を調べるとよい。
CHART 極値をもたない条件f'(x)の値の変化に注目
f(x)=e-ax+alog x から
f'(x)=-ae-ax+α・
a(-xe-ax+1)
1
=
x
x
g(x)=-xe-ax+1 とすると
1
a
<x>0,a>0であるか
分子の( )内の式を
_ | + g(x)=-xe-x+1
として, g(x) の値の
化を調べる。
g'(x)=-1・e-ax-x(-ae-ax)=(ax-1)e-ax
g'(x)=0(x>0) とすると,
a>0から
1
x=
a
x
0
x≧0 における g(x)の増減 g'(x)
表は,右のようになる。
f'(x)==.g(x)であり,
x
(1)
-
0
+
y
極小
g(x) 1
1
7
ae
y=g(x)
x>0.
>から
0における名
