94 数学Ⅱ 第5章
研究例題66 定義域に文字を含む関数の最大値と最小値
関数 f(x) =x-3x+1 の 0≦x≦a における最大値と最小値を求めよ。た
だし, α>0 とする。
解
f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
値, f(0), f(a) に注目し, αの値によって場合分けをして考える。
f'(x) =0 とすると,
x=±1
f(x)の増減表は,次のようになる。
-1
1
x
f'(x) + 0
0
+
f(x)
7
3
-1
7
f(0)=1より,f(x)=1 とすると,
x-3x+1=1, x-3x=0
x(x+√3)(x-√3) = 0,
(i) 0<a<1 のとき,
x=0 で最大値f(0) =1
x=0, ±√3
x=αで最小値 f(a)=α-3a+1
(ii) 1≦a<√3 のとき,
x=0で最大値f(0)=1
x=1で最小値 f(1)=-1
(Ⅲ) α=√3 のとき,
x=0, √3 で最大値f(0)=f(√3)=1
x=1で最小値 f (1)=-1
(iv) α > √3 のとき,
x=αで最大値 f(a)=a-3a+1
x=1で最小値 f(1)=-1
(i)
YA
(i)
Oali
fla) 3
la x
√3
XC
y_y=f(x)|
√3x
(iv)
y
\f(a)
-1-
√3
a
13
