二次方程式の解の存在範囲の問題です。判別式をD＞0ではなくD＞＝0にしている理由がわからないので教えてください。

2次方程式 x2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数 値の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 (2) 1つの解は3より大きく. 他の解は3より小さい。 指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 (1)2つの解がともに1より大きい。 → α-1>0 かつβ-1> 0 p.87 基本事項 2 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3とβ-3が異符号 以上のように考えると,例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお,グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別解 2次関数 解答 別式をDとする。 D ==(− p)² - (p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2) 4 解と係数の関係から α+B=2p,aß=p+2 (xax1, B>1であるための条件は D≧(かつ(α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 D≧0から よって (p+1)(p-2)≥0 f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 12/1=(p+1)(p-2)20, 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 YA x=py=f(x) p≦-1,2≦p ① (α-1)+(β−1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0 よって >1 ...... (α-1)(B-1)>0 すなわち αβ-(a+β)+1>0 から よって p+2-2p+1>0 p<3. ③ 求める』の値の範囲は, 1, 2, ③の共通範囲をとって A -1 1 2 3 þ 3-p + a P O 1 2≦p<3 (2) α <β とすると, α <3 <βであるための条件は (α-3)(β−3) < 0 αβ-3(a+β)+9<0 p+2-3・2p+9 < 0 すなわち ゆえに よって p>. 5 11 B x (2) f(3)=11-5p<0から p> 1/13 題意から、α=βはあり えない。

63の（2）についてです。2x +3y -13、3x -5yと分けているのですか？ その下の段の（1）によりのところでは何をしているのですか？？

108 基本 例題 63 有理数と無理数の 000 証明せ ただしができますならばであることを ただし,√3は無理数である。 | (2) 等式(2+3√3)x+(1-5√3)y=13 を満たす有理数x, yの値を求めよ、 指針 解答 (1) 直接証明することは難しいので、 背理法を利用する。 「a=b=0」の否定は「 または60」であるが、この問題では「60」と仮定して進めるとうまくい (2) (1) で証明したことを利用するために,√3 について整理し, a+b√3 (1) b0 と仮定すると,a+b、3=0から √3 = -10 a,bは有理数であるから、①の右辺は有理数である。 ところが、①の左辺は無理数であるから、これは矛盾で の形に 有理数の和 では有理数である。 CHART NAVI 解答 高校の数学にお までにどう考えて それには,各過程 も交えて示し、詒 理由は, 「......で 例を見てみましょ 基本例題 3 不十分な したが よって ある。 よって, 60 とした仮定は誤りであるから b=0 b=0 をa+b√3=0に代入して a=0 したがって, a, b が有理数のとき a+b√3=0ならば a=b= 0 が成り立つ。 (2) 与式を変形して 2x+y-13+(3x-5y)√30 xyが有理数のとき,2x+y-13,3x-5yも有理数であ り√3は無理数であるから,(1)により 2x+y-13=0: ****** ② 3x-5y=0. ② ③ を連立して解くと x= 5, y=3 [解説]「よ このよう 拠をきち 基本例題 a+b√30 の形に。 この断りは重要。 不十分 12x ゆえに よって [解説] A いて導い にはその しく用い 有理数と無理数の性質 昌樹 検討 特に 一般に、次のことが成り立つ。 a, b, c,dが有理数, I が無理数のとき a+b1=c+dlならば a=c, b=d a+b1=0 ならば a=b=0 例題の解答 や解答の副文 解答を書く力 練習 (1) x+4√2y-6y-12√2+160 を適 ② 63 (2) a, b を有理数の定数と あるとき

（1）についてです なぜD＝0も含むんですか？ 問題文では2つの解と言ってるので＞だけではないんですか？

αの で 基本 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように,定数」の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 フを 89 指針 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解を α,βとする。 (1)2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0 かつβ-1>0 p.87 基本事項 2 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3と β-3が異符号 以上のように考えると, 例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。これについては、 解答副文の別解 参照。 2章 9 解と係数の関係、解の存在範囲 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判別解 2次関数 解答 別式をDとする。 D —=(− p)² - (p+2)= p²-p−2=(p+1)(p−2) 4 解と係数の関係から a+β=2p, aβ=p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は 20 かつ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(B−1)>0 D≧0 から よって (p+1)(p2)≥0 p≤-1, 2≤p ① (α-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2-20 よって p>1 ...... f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1)=(p+1)(p-2)≧0, 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p <3 YA x=p_y=f(x) 26 3-p + a 0 1 B x (a-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1>0 から 200 p+2-2p+1>0 よって <3 (3) 求めるかの値の範囲は, 1, 2, S ② ① (2) f(3)=115p < 0 から 11 ③の共通範囲をとって -1 123 p p> 55 2≤p<3 (2) α <β とすると, α<3 <βであるための条件は (a-3)(B-3)<0 題意から α=βはあり えない。 ー すなわち aβ-3(a+β)+9 < 0 ゆえに = 3300 0 p+2-3・2p+9< 0 me よって >1/ 練習 2次方程式 x p> 52 の範囲を定めよ。 $50 arm 2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように,定数αの値 E2

解の存在範囲です。僕はグラフを使って解いていたのですが、(２)で切片が0より小さい時だけで十分なのはどうしてですか？1枚目の写真ノ下の方にグラフの説明がありますが、理由が書いてないです。 なぜ判別式、軸、切片を考える時と、切片だけで良い時があるのか理由を教えてください🙏

■2次方程式の実数解と実数の大小 a<k⇔a-k<0,a=k⇔a-k=0,a>k⇔a-k>0であるから 1の①~③ と同 に考えて, α-k, β-kの符号を調べればよいことがわかる。 GAINS a>0の場合,2次関数f(x)=ax2+bx+c のグラフ (下図)から、次のことが成り立つ。 ①a>k,B>k⇔D≧0, (軸の位置) >k, f(k)>0 ② a<k, B<k⇔D≧0, (軸の位置) <k, f(k) > 0 ③kがαとBの間⇔f(k) <0 0<+1+=(0) a < 0 の場合は,①②③ で,それぞれf(k) の符号が逆になる。() () ① D≧O (軸) > k ka f(k) > 0 軸 ② Bx a D≧0 (3) f(k) <0 (軸) <k f(k)>0 軸 Bkx +α(+) k a 0 TB x

(1)について質問です。 どうして判別式Dは０以上になるのでしょうか？ 2つの解と書かれているので重解の場合は含まれないと思いました。 重解の場合も含めていいのでしょうか？

3 基本 52 2次方程式の解の存在範囲 ①①①①① 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように,定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 p.87 基本事項 89 指針 2次方程式x²-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1>0 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 → α-3 と β-3 が異符号 以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα, βとし, 判別解 2次関数 解答 別式をDとする。 D =(−p)² −(p+2)= p²−p−2=(p+1)(p−2) 4 解と係数の関係から α+β=2p, aβ=p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は D≧ かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (β-1) > 0 (p+1)(p-2)≥0 f(x)=x-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 0(+1)(p-2)0. 軸について x=p > 1, f(1)=3-p>0 から2≦p<3 YA x=py=f(x) D 0 から よって p≦-1,2≦p ① (α-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0 よって p>1 ...... ② 3-p +α P 0 1 B x (α-1) (−1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1>0 から p+2-2p+1> 0 よって p<3 ...... 求める』の値の範囲は, 1, 2, ③の共通範囲をとって 2≦p<3 ② ① 1 2 3 Þ 2 2章 解と係数の関係、解の存在範囲 (2) f(3)=11-5p<0から 11 p>1

波線部について質問です｡なぜ＞＝なんですか？二つの解とあるので，＞ではないんですか？

基本例題 52 2次方程式の解の存在範囲 ①①① 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 /p.87 基本事項 2 89 指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 2章 解と係数の関係、解の存在範囲 (1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1> 0 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3と β-3が異符号 以上のように考えると, 例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別解 2次関数 解答 別式をDとする。 4 =(− p)² - (p+2)= p²-p−2=(p+1)(p−2) 解と係数の関係から a+β=2p, aβ=p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 D≧0から よって (p+1)(p-2)≥0 p≤ -1, 2≤p ...... ① (α-1)+(β-1) > 0 すなわち α+β-20 から 2p-2>0 よって>1 ...... 2 (α-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1 >0から で p+2-2p+1>0 よって <3 ③ 求めるかの値の範囲は,①,②, ③の共通範囲をとって f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 12/27=(p+1) (p-20 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 YA 3-1 x=py=f(x) + α P B x 0 1 2 -①- (2)(3)11-5p<0から 123 P p>. 11 5 <題意から α =βはあり えない。 2≦b<3 (2) α <β とすると, α<3 <βであるための条件は (α-3) (B-3) < 0 すなわち αβ-3 (a+β)+9<0 ゆえに p+2-3・2p+9 < 0 よって p> 5 練習 2次方程式 x 2-2(α-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように定数αの値 52 の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに2より大きい。 (2)2つの解がともに2より小さい。 (3)1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。 p.91 EX 34

数Ⅱ　恒等式の問題です。 重要例題22のヒントとしてCHART＆SOLUTIONとあり、あとの計算がしやすいように文字を減らすと書いてあるのですが、あとの計算がしやすい文字の消去のコツってありますか??

41 重要 例題 22 条件式のある恒等式 00000 2x+y-3z=3, 3x+2y-z=2 を満たすすべての実数x, y, z に対して, px2+qy2+rz2=12 が成立するような定数, 4, rの値を求めよ。 CHART & SOLUTION 条件式の扱い 文字を減らす方針で,計算しやすいように すべてのx,y,zといっても, x, y, zの間には次の関係がある。 2x+y-3z=3 ...... 1, 3x+2y-z=2...... ② [立命館大] 基本18 1 3 つまり、 ①,②は条件式であるから, 文字を消去する方針で解く。 あとの計算がしやすいよ うに消去する文字に注意する。 ここではx,yをzで表して, 2 だけの恒等式を考える (下 の副文参照)。 ・・・・... ① 解答 2x+y-3z=3 ...... 1, x-5z=4 3x+2y-z=2･･････ ② とする。 ゆえに x=5z+4 ① ×2-② から ① ×3-② ×2 から -y-7z=5 ゆえに y=-7z-5 これらを px2+qy2+rz2=12 に代入すると p(5z+4)2+g(-7z-5)2+rz²=12 よって p(25z+40z+16)+α(4922+70z+25)+rz2=12 左辺をぇについて整理すると (25p+49g+rz2+10(4p+7g)z+(16p+25g)=12 この等式がzについての恒等式となるのは, 両辺の同じ次数 の項の係数が等しいときであるから 25p+49g+r=0 ...... 3 4p+7g=0 4 16p+25g=12 (5) ④×4-⑤ から 3q=-12 ゆえに q=-4 よって、④から p=7 更に③から 175-196+r=0 ゆえに r=21 消去する文字が xの場合: ① x3-② ×2 から -y-7z=5 yの場合: ①×2 ② から x-5z=4 Zの場合: ①-② ×3 から -7x-5y=-3 となる。 これらを変形 するとき なるべく係数 が大きくならず 分数が 出てこないように考え て消去する文字を決め るとよい。 PRACTICE 22Ⓡ (1) 2x-y-30 を満たすすべてのx,yに対してax2+by2+2cx-9=0 が成り立 つとき,定数a, b, c の値を求めよ。 (2) x+y+z=2,x-y-5z=0を満たすx, y, zの任意の値に対して、常に a(2-x)2+6(2-y)'+c(2-z)2=35 となるように定数a, b, c の値を定めよ。 〔武庫川女子大】

（1） 判別式Dに＝がついてるのはなんでですか? ２つの解と書いてあるから重解になるのは変な気がします。教えてください。

基本 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 指針 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 (1)2つの解がともに1より大きい。 → α-1>0 かつβ-1>0 p.87 基本事項 2 (2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 → α-3とβ-3 が異符号 以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判別解 2次関数 解答別式をDとする。 D =(-p)² - (p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2) 4 解と係数の関係から a+β=2p,aß=p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (β-1)>0 D≧0 から よって (p+1)(p-2)≥0 p-1,2≦p ...... (a-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0 よって>1 ...... f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 2 =(p+1)(p-20, 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 YA x=py=f(x) ② 3-p + a 1 B x (α-1)(-1)>0 すなわち αβ- (α+β) +1>0 から p+2-2p+1>0) 89 2 2章 解と係数の関係、解の存在範囲 よって <3 ③ たす 1- 求めるかの値の範囲は, 1, 2, (SF (0. (2)_f(3)=11-5p < 0 から 11 ③の共通範囲をとって 123 P 2≤p<3 の解は (2) α<β とすると, α <3 <βであるための条件は (a-3)(B-3)<0 題意から α =βはあり えない。 すなわち αβ-3(a+β)+9 <0 250 ゆえに p+2-3・2p+9 < 0 よって 11 p> 5

（2）のとき判別式D<0という条件がないのはなぜですか？解説よろしくお願いします🙇‍♀️

の 基本 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 ①①① 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数」の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 指針 (1)2つの解がともに1より大きい。→α-1> 0 かつβ-1>0 p.87 基本事項 2 1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 → α-3 と β-3 が異符号 以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判 | 別解 2次関数 解答別式をDとする。 f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 =(-p)²-(p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2) (+1)=2(1)=(+1)(p-2)≥0, 解と係数の関係から a+β=2p, aß=p+20pm=8 (1) α>1,ß>1であるための条件は+b) 軸について x=p>1, 38f(1)=3-p>0 D≧0 かつ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 から 2≦p<3 D≧0 から (p+1)(p-2)≥0 よって p≦-1, 2≦p ...... (α-1)+(β-1) > 0 すなわち α+β-20 から 2p-2>0. > + & p>1 ·· 23-p + Ca (α-1)(β-1)>0 すなわち aβ-(a+β)+1>0 から よって Op+2-2p+1>0) (E- <3 ...... ③ 求める』の値の範囲は, 1, ②, (ST ③ x=py=f(x) B x |(2) f(3)=11-5p<05 ③の共通範囲をとって1m1231 2≦p<3 (2)α<β とすると, α <3 <βであるための条件は (a-3)(β-3)<0 すなわち αβ-3(a+β)+9 <0 題意からα =βはあり えない。 1つの ゆえに p+2-3・2p+9 < 0 = $30 SIN よって p> b> 11

オレンジマーカーのところで、‪α‬+β=2p>2、‪α‬β=p+2>1にすると間違えちゃう理由をしりたいです！‪α‬>1、β>1ならこうしてもいいのではないでしょうか、、、？

基本例 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 0000 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数 4.Bに対して、 値の範囲を定めよ。 日本)の間を求めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 指針 2次方程式x-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 p.87 基本事項 2 (1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0 かつβ-1>0 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。→α-3と β-3が異符号 以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては, 解答副文の別解 参照。 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判別解 2次関数 解答 別式をDとする。 4 f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 =(−p)²−(p+2)= p²−p−2=(p+1)(p−2) -23 (1) 1/2=(p+1)(p-2)≧0, 解と係数の関係から α+β=2p, aß=p+28jp.mm=軸について x=p>1, (1) α>1,β>1であるための条件は D≧0 かつ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 f(1)=3-p>0 から 23 VA x=p_y=f(x) 切 異なる2つの正の解 D20x120x320 異なる2つの肩の解 D20,xtBoxBio 異符号の解xco ⑤ 2次方程式=2P+P+2=0 定数の範囲 (1)2つの解がともにほり大きい。 α,Bとすると、え x+B=20 > 2 P>2. XB=P4221 P2-1. ①、②から. ☆Dミロも含まれる。 い ① P>2 # D= = = p² -p-2 =0 (P+1)(P-2) påtrzep 20 ① こうなるための 条件を求めるし 2章 9 解と係数の関係、解の存在範囲