基本例題 52 2次方程式の解の存在範囲 ①①① 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 /p.87 基本事項 2 89 指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 2章 解と係数の関係、解の存在範囲 (1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1> 0 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3と β-3が異符号 以上のように考えると, 例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別解 2次関数 解答 別式をDとする。 4 =(− p)² - (p+2)= p²-p−2=(p+1)(p−2) 解と係数の関係から a+β=2p, aβ=p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 D≧0から よって (p+1)(p-2)≥0 p≤ -1, 2≤p ...... ① (α-1)+(β-1) > 0 すなわち α+β-20 から 2p-2>0 よって>1 ...... 2 (α-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1 >0から で p+2-2p+1>0 よって <3 ③ 求めるかの値の範囲は,①,②, ③の共通範囲をとって f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 12/27=(p+1) (p-20 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 YA 3-1 x=py=f(x) + α P B x 0 1 2 -①- (2)(3)11-5p<0から 123 P p>. 11 5 <題意から α =βはあり えない。 2≦b<3 (2) α <β とすると, α<3 <βであるための条件は (α-3) (B-3) < 0 すなわち αβ-3 (a+β)+9<0 ゆえに p+2-3・2p+9 < 0 よって p> 5 練習 2次方程式 x 2-2(α-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように定数αの値 52 の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに2より大きい。 (2)2つの解がともに2より小さい。 (3)1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。 p.91 EX 34