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15 2次方程式の解の配置基本的処理法-
2+ax+b=0の2つの異なる実数解α,Bが2<a<3-2<B<3を満たすとき,点(a,b)
が存在する領域を平面上に図示せよ、
解の配置
本間は解の配置に関する典型的問題である。 その基本的処理法は,
方程式+αx+b=0に対して、f(x)=x+αz +bとおいて、
f(x) =0の実数解を=f(x)のグラフとェ軸との共有点の座標として
とらえるという視覚的な (グラフで考える)方法
である。ここで,y=f(x)のグラフの考察のポイントは,(例題1000°~2°をふまえ)
0° 下に凸か上に凸か (本間の場合, 下に凸)
1° 判別式の符号
2° 軸の位置
3° 区間の端点での値
である、 本間のように, 0°ははじめから分かっていることが多い.
龍谷大文系)
方程式 3
(1)
2
(2)
2<x<2の範囲
■解答量
f(x)=x+ax+bとおくと, y=f(x)のグラフ
とx軸が2<x<3の範囲に異なる2交点をもつ条
件を求めればよい。
34
y=f(x)/
f(-2)>0 軸
f(3)>0
f(x) =0の判別式をDとすると,その条件は,次
の1°~3°がすべて成り立つことである。
右図の場
3 x
-2
`1° D=α2-46>0
12° 軸について-2<- 1/2<3
13° 端点について: f(-2)>0かつf (3) >0
D>0
合も含ま
れてしま
う
軸の位置2°を考えないと,例えば
~f(-2) > 0
2<x<3で
解をもたない
(3) > 0
-20 3
ここで, 1⇔
b<a²
D>0
......... ①
2°-6<a<4 ...... ②
また,f(-2)=-2a+b+4, f (3) =3a+b+9 であるから,
3°⇔b>2α-4 ③ かつb>-3a-9......... ④
b=2a-4とb=-34-9の交点
は (-1,-6)
したがって、題意の条件は、 ①〜④が同時に成り立つ
ことで,これを満たす (a, b) の範囲は右図の網目部
分のようになる (境界は含まない)。
b b=
接する
例えば,b=b=20-4
注 境界線は放物線と直線であるが, 放物線と直
線は接している.
連立させると
--(2a-4)=
0
-6
4
a
:. α²-8a+16=0
一般に, 2次方程式の解の配置の問題において,
境界線に現れる放物線と直線は接している(はずな)
ので, それに注意して図示しよう.
b=2a-4
(-1,-6)
b=-3a-9
..(a-4)2=0
..a=4 (重解)
で確かに接している. いつも
することを説明するのは難しい
で省略するが、接することは
ておこう)
-15 演習題 (解答はp.60 )
2次方程式+ (2a-1)+α -3a4=0が少なくとも1つ正の解をもつような実数軸の位置か、2層の
の定数αの値の範囲を求めよ.
(信州大工)
パターンで場合分け
