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→f(x)20のときは増加の
基本 例題 182 極値から係数決定
①①①①①
逆が不成
だから
ないとい
基本180
f(x)=x+ax²-3x+b とする。 f(x)はx=1で極小になり、x=c で極大
値5をとる。 定数a, b, c の値とf(x) の極小値をそれぞれ求めよ。
CHART & SOLUTION
f (α)が極値f (α)=0(必要条件):逆をかくに人口 TAME
f(x)がx=1で極小になる
-
f'(1) = 0
f(x) がx=c で極大値5をとる→f'(c) = 0, f(c)=5
ただし, f'(1) = 0, f (c) = 0 であるからといって、x=1で極小, x=c で極大になるとは限
らない(必要条件)。 解答の「逆に」 以下で十分条件であることを確認する。
解答
f'(x) =3x2+2ax-3
f(x) は x=1で極値をとるから
f'(1)=0
よって
3.12+2a 1-3=0
ゆえに
a=0
......
・①
逆に,このとき
f'(x) =0 とすると
x=±1
f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
f(x) の増減表は次のようになる。
x
1
f(x) 極大 > 極小 >
の
「
けない
(合ってい
今
成り立つんじゃないの?
なんで確
f'(1) =0 は必要条件で
あるから これより得ら
れる α=0 も必要条件
に過ぎない。
増減表を作って, a=0
が十分条件であること
を確かめる
x=1で極小, x=c
極大となるから, 2次方
程式 f'(x)=0 すなわち
=(0-DE)-3x²+2ax-3=0%
x=1, c を解にもつ。
解と係数の関係から
-1
f'(x) + 0
-
0 +
よって, f(x) はx=1で極小となるから, a=0 は適する。
x=1で極大であるから
c=-1
また,①から f(x)=x-3x+b
条件より,f(-1) =5 であるから
01
>a
(-1)-3(-1)+6=5
したがって
b=3
よって, 極小値は
f(1)=1°-3・1+3=1
以上から
a=0,6=3,c=-1; 極値以下
よってc=-1, a=0
を作り,十分
条件を確認する。)
1+c=-
3
1c=-=-1
3-1
POINT f(x)=ax2+bx+cx+d(a>0) において,f'(x)=0 の判別式をDとする。
D0 のとき, f'(x)=0 の異なる2つの実数解をα, β(α <β) とすると,
f(x) は, x=α で大値, x=β で極小値をとる。
