184(2(+みに二類支援
基本 例題106 数列の極限(5) …
はさみうちの原理2
O0000
無限
nはn23の整数とする。
1
(1) 不等式 2">-パが成り立つことを,二項定理を用いて示せ。
6
{r"
(2) lim
n?
の値を求めよ。
基本16
指針>(1) 2"=(1+1)"とみて, ニ項定理 を用いる。
(a+b)"=a"+,C,a"-'b+,C2a"6°+……+,Cn-1ab"-1+b"
(2) 直接は求めにくいから,前ページの基本例題105同様,はさみうちの原理 太田
る。(1)で示した不等式も利用。
数列。
初項
く数列
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
解答
(1) n23のとき
2"=(1+1)"=1+.Ci+»C2+………+,Cn-1+1
4n=1, 2の場合も不等式
成り立つ。
h
全i+n+(n-1)a(n-1)(n-2)
(2"21+,C」+Cz+,C
(等号成立はn=3のとき」
+n+1>が
よって
2">-カ
(2)(1)の結果から
6
く
2"
各辺の逆数をとる。
rキ
n3
よって
n?
6
0<
2"
よ
各辺にn(>0)を掛ける。
n
lim=0 であるから
6
lim
=0
→ 7
はさみうちの原理。
振
→0
検討)はさみうちの原理と二項定理
であ
はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として、上の例題のように, 二現定理
用いられることも多い。なお, 二項定理から次の不審式が導かれることを覚えてね
した
注意
x20のとき
(1+x)"21+nx,(1+x)"z1+nx+-n(n-1)x? (*)
く数列(
{r}の
練習
nを正の整数とする。
0106
(1) 上の 検討 の不等式(*) を用いて、
右側の
(2)(1)で示した不等式を用いて、limnàの値を求めよ。
(1+/2)>nが成り立っことをが
(舞京都
S
