7 三角関数の合成に関して、太郎さんと花子さんの会話を読んで下の問いに答えよ。 (14点)
太郎 : 正弦や余弦が混合している場合は, 三角関数の合成を使うと多くの問題に対
応できるよ。
花子:そうなの? 合成も不安だけど･･・。 f(x)=√3sinx + 3cosx を考えてみよう。
VO, lalan” とするとき, f(x) をrsin (x+α) の形に変形すると
(2)
r = ア α=イとなるね。
太郎 : 合成は大丈夫そうだね。 では, 0≦xのとき, f(x)の最大値と最小値を
求めてみて。
花子:まずは,0≦x≦π だからa≦x+α ≦a+αとなるね。 なので,
ウム sin (x+α)≦ H
合成した式を利用すると (4) 最大値と最小値を求めることができるかな。
太郎 : さすがだね! 最後に 0≦x≦πのとき, 三角方程式f(x)=√3 を解いてみ
て。
(b)
花子: これも合成した式を利用すると解けるね。 rsin (x+α) の形にしたから解は
2つあるかと思っていたけど, α ≦x+α≦a+αに注意しないといけない
よ。 そう考えるとxの値は1つしかないね。
アに当てはまる数を答えよ。 また, イに当てはまる角を答えよ。
ウ エに当てはまる数を, 次の ①~⑧から一つずつ選べ。
0
01/1/2
1
√√3
2
√√3
2
1
√2
1/1/1
01/1/20
(3) 下線部 (α) について, 関数 f(x) の最小値・最大値を求めよ。
(4) 下線部 (6) について, 三角方程式 jf(x)=√3 を解け。
√√3
(1) √3 sin x + 3cos x = 2√3 (sin x + cos x 3) = 2√3 sin(x+3)
..
1/2
・
(2)x+2/3/21/23 なので
(20≦xのとき
(3) (2)* ) -352√3 sin(x+5) ≤2√3
(2)より
√√3
なので sin(x+)51
より
(4) 2√3 sin(x+3)=√3 sin(x+3) = 1/2
π 5
π
1/2x+1/28 2012/31 なので+10/2=1/12/0
3 6
x+.
π
-1
-
したがって x = 2
