なぜ、θの範囲が変わっても、三角比の公式は変わらないんですか

3 三角比の拡張 これまでは,90° までの角の三角比について学んできた。 ここでは、角の範 囲を 0° から 180°までに広げて,その三角比を考えてみよう。 1 三角比の拡張 右の図のように, 原点0を中心と する半径rの半円と, x軸の正の部分 との交点をAとする。 VA r y P (x,y) シータ この半円上に∠AOP= 0 となる 0 A 点Pをとる。点Pの座標を (x, y) と y x すると, 0 が鋭角, すなわち 0° < 0 < 90° のとき, 次の関係が成り立つ。 y sino COS tan0 r x * そこで, 0が鈍角のときも含め,0°≦0 ≦180°の範囲にある角の 三角比を,あらためて次のように定義する。 拡張した三角比の定義 sin0=y r x coso= r tan0 = 28 VA P(x,y) r y r 10 A -r 0 r x 注意 0 = 90°のときはx=0であるから, tan 90°は定義しない。 拡張した三角比の値は,いずれも半径の大きさに関係なく,角6の 大きさだけによって定まる。 2

至急お願いします。 (1)(2)ともtでおくことはわかったんですが、 0≦t≦1と-1≦t <0（丸で囲んであるところ）はどうやって出したのでしょうか？ どなたか解説お願いします。

重要 例題 143 三角比を含む方程式 (3) 次の方程式を解け。 (1) 2cos20+3sin0-3=0(0°≦0≦180°) 3 sin Otan0=- 2 (90°0≦180°) 00000 237 sincose, taneのいずれか1種類の三角比の方程式に直して解く。 指針 ① sin20+cos'0=1 や tan0= sin 0 cos を用いて, 1つの三角比だけで表す。 基本 141 ②2 (1) sin だけ (2) は coseだけの式になるから,その三角比をとおく。 →tの2次方程式になる。 ただし, tの変域に要注意! ③tの方程式を解き, tの値に対応する 0 の値を求める。 CHART 三角比の計算 かくれた条件 sin 20+cos20=1が効く (1) cos20=1-sin 20であるから 解答 2 (1-sin20)+3sin0-3=0 整理すると 2sin20-3sin0+1=0 sin0=t とおくと,0°0≦180°のとき sinの2次方程式。 章 1 三角比の拡張 Ost≤1 ... ① <おき換えを利用。 方程式は 2t2-3t+1=0 ゆえに (t-1)(2t-1)=0 yA 1 1 よってnia t=1, これらは ①を満たす。 2 t=1 すなわち sin0=1 を解いて 8=90°nia 1 -11 0 √3 1x t= すなわち sin0= を解いて 0=30° 150° √3 2 32 2 以上から 0=30° 90° 150° 最後に解をまとめる。 (2) tan 0= sino COS O sin 3 であるから sin 0. COS A 2 ゆえに nie 2sin20=-3coso sin20=1-cos20であるから 整理すると COS0=t とおくと, 90°0≦180°のとき -1≦t<0..... ① 両辺に2cos を掛ける。 (*) 慣れてきたら、おき換 えをせずに(*)から 2 (1-cos'0)=-3COSO (cos0-2) (2cos8+1)=0 2cos20-3cos0-2=0.....* よってcosQ=2,-12 などと進めてもよい。 方程式は2-31-2=0 ゆえに (t-2)(2t+1)=0 よって t=2, ①を満たすものは-12 2 120° 2 0 1x 求める解は,t=- すなわち cos=- を解いて 2 0=120° 練習 次の方程式を解け。 @143 (1) 2sin20-cos 0-1-0 (0°≤0≤180°) (2) tan=√2cos (0°090°) p.247 EX 101

r=1になる理由が分かりません。教えてほしいです🙇‍♀️

22 三角比の拡張 214 右の図で, ∠AOP=180° とする。 半円の半径をr=1にとると, 点Pの座標は (-1, 0) 180° P そこでx=-1, y=0 として Ax sin 180°==1=0 r x cos 180° = V tan 180° = y x ===-1 = - 0 -1 =0

三角比の拡張の問題です。(3)で答えが0°≦θ<45° と90°<θ≦180°の2つになるのは何でなのか教えて欲しいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

* 4500°0≦180° のとき, 次の不等式を満たすの値の範囲を求め ③ よ。 √3 (1) sine< (2) cose≥ (3) tan0 <1 2 2

なぜθが鋭角だとcosθ＞0になるのですか？

基本 例題 0は鋭角とする。 (1) sin0=1のとき, coseとtan0 の値を求めよ。 (2) tan0=3のとき, sin と cose の値を求めよ。 指針 1) tan 0= 三角比の相互関係 0 が鋭角 すなわち 0°<<90° のとき sin O COS DO (1) 愛知工 /P.223 基本事項 基本144 (1) C (2) (2) sin' 0+ cos20=1 ③③ 1+tan20=- cos20 「指 を利用する。 次の手順で求めるとよい。 公式② (1) sin0 または cos cos0 または sin O 公式① tan 0 公式③ sin0=tanocosA(①) (2) tan0 COS A sina (1) sin 20+cos20=1から 解答 cos20=1-sin20=1-(2) 2 = は鋭角であるから 7 1-(2)-16 sino=を満たす COS > 0 A 三角形 √7 よって cos 0= 4 sinO また tan0= COS A 4 1 1 (2)1+tan20= から 3 √7 = 4 = 3 √7 =1+32=10 COS20 COS² 解答 / 4/ 13 A 0 7 3 tan0= を満たす直 1 三角形 したがって cos20= 1 10 0は鋭角であるから cos 0>0 よって cos 0= 10 また sin0=tan0cos0=3・ 3 13 \s+s 8 1 検 = 10 10- 参考 (1) の tan0= 3 17 の分母, 分子はそれぞれ右図の直角三角形の辺 √7 の長さと一致していて, 三角比と辺の対応がわかりやすい。その ため,本書では,三角比の値などで分母に平方根があっても有理 化していないことが多い。 分母 ②

(3)で90°<θ≦180°の範囲が含まれる理由がわかりません。

向きとな なす鋭角を 頁 5,基本142 m=tane y=mx m 243 重要 例題 148 三角比を含む不等式 (1) 10°≦0≦180°のとき, 次の不等式を満たす0の値の範囲を求めよ。 (1) sine> 1 2 指針 1 (2) cosm √2 (3) tan 0<√3 基本 141 142 演習 151 、 三角比を含む不等式は,三角比を含む方程式 (p.235, 236 基本例題 141,142) 同様, 原点を中心とする半径1の半円を利用して解く。 ① 半円の図をかいて,不等号をとおいた三角比を含む方程式を解く。 ②それぞれ次の座標に着目して,不等式の解を求める。 解答 (1) の図で、半円上の点Pのy座標 sinの不等式 COSOの不等式 tan の不等式 解答 (2) の図で、半円上の点Pのx座標 解答 (3) の図で、直線x=1上の点Tのy座標 傾きに一 呈式を解く。 2 と同様 の値の範囲である。 よって 30°<0 <150° 曲の正の向 はそれぞれ A(10) とする。>/となる角日の範囲を求めよ。 解答 (1) sin0= を解くと CHART 三角比を含む不等式の解法 まずとおいた方程式を解く utos y 2 半径1の半円に対して, x軸に平行な直線 y=k を上下 に動かし、この直線と半円との共有点Pのy座標が 0=30° 150° k 1 4章 より大きくなるような∠AOP の範囲が求める 0 A 1 三角の引 1-2 0 30°から150℃の範囲 150° 30° 1x 2 (2) cos 0= を解くと 0=45° y nià-1)S x 半径1の半円に対して, y軸に平行な直線 x=kを左右 に動かし、この直線と半円との共有点Pのx座標んが 1 P 以下になるような∠AOP の範囲が求めるの 045% じで! √2 値の範囲である。 よって k O 1 45°0≦180° 1→ √2 |_ 2 1x (3)_tan03 を解くと 0=60° 傾き半径1の半円周上の点P に対して, 直線 OP を原点を 中心として回転させたとき, 直線 OP と直線x=1と の共有点Tのy座標が3より小さくなるような ∠AOPの範囲が, 求める日の値の範囲である。 よって 0° <60° 90°0≦180° √3 P Tm 0' 0 A 麺 (3) tan については、090°であることに注意する。 -1 0 1 x 60° ます 節では詳しく書いているが、慣れてきたら, 練習148

見にくくて申し訳ないです､ cosの方の求め方がわかりません。 教えてください

6'26 18 18+ 18+ 8 878 848 5 □211 は鋭角とする。 tan0=√7のと cos e と sine の値を求めよ。 tano +1=1050 7+1=03日 28%=1 8%=1 26 =1264 xC2 x い ・ sind +06050-1 18:1 + x² = 1 っ 4 7 8 2 14 C 824 12. al 8 84 418 12 84418 COSQ:8 114 sin:4 OS 23° 2. サ 2 ▼ sin (90°-8)=coso

こちらの問題について、解き方を教えて頂きたいです。 私は単位円をもとにsin²θ＋cos²θ＝1の公式からx座標を求め、x座標とy座標とrを使って求めたのですが、こんなややこしい求め方でよいのでしょうか？

第1節 三角比 147 等式を満たす 0 ある角に対する三角比の値が与えられたとき,その角の大きさを求め ることを考えてみよう。 13tang=1 v) 例題0°0≦180° のとき,次の等式を満たすを求めよ。 5 (1) sin0= √3 2 (2) cos 0= 1 /2 A. x 解 (1) 半径1の半円周上で, y 座 YA 90AD 標がとなる点は,右の 2 12|21 √3 P 図の2点P, Qである。 あ 11 ) 求めるは 120° 60% -1 10 10 ∠AOP と ∠AOQ 2 h12 であるから x 0=60° 120° YA 半径1の半円周上で, x座 1 x 第4章 図形と計量

こちらの問題についてなぜQのx座標がcos(90°+θ)になるのかが分かりません。sinやtanではダメなのでしょうか？

0: 第4章 図形と計量 三角比の拡張 (1) 重要例題 99 (1) 0°0 <90° とする。 右の図 北の値 においてQの座標を x, y で表し, 次の等式が成り立つことを示せ。 (ア) sin (90°+0)=cose (イ) cos(90°+0)=-sin0 (ウ) tan(90°+9)=-- 1 tane YA (y,x) 1 Do -1 0 (2) 三角比の表を用いて, 次の三角比の値を求めよ。 (ア) sin 155° (イ) cos 140° ポイント 180° 6,90°+日の公式利用 90°+0 P(x,y) x1 x BEN (ウ) tan 110° (2) まず, 公式を用いて, 鋭角の三角比に直す。

この赤枠のところの、両辺に16をかけるのは何故ですか？ 教えて欲しいです！

[大阪産大〕 基本 113 CHART & SOLUTION 三角比の計算 かくれた条件 sin20+cos'0=1 を利用 かくれた条件 sin'0+cos20=1 tan の値は sino, cose の値がわかると求められる。 そこで を利用して, sino, cose についての連立方程式 4cos0+2sin0=√2, sin20+cos20=1 を解く。 → cose を消去し, sin0の2次方程式を導く。 解答 4cos0+2sin0=√2 を変形して 4cos0=√2-2sin sin20+cos20=1の両辺に 16 を掛けて 16sin20+16cos20=16 ①を②に代入して 16sin20+(√2-2sin0)²=16 10sin20-2√2 sin0-7=0 4cos0 +2sin=√2 4章 (2) を条件式とみて、条件式 は文字を減らす方針で COS を消去する。 13 三角比の拡張 整理して さ ここで, sin0=t とおくと 10t2-2√2t-7=0 これを解いて t=- √2 ± 6√2 ( (*) 10 よって t=-1 √2 7√2 2' 10 0° <0 <180°であるから 0<t≤1 これを満たすのは 7/2 t= 10 すなわち sin0= 7√2 10 ①から 4 cos 0=√2-2-- 7/2 2√2 10 5 ゆえに cos 0=√2 10 sine 7/2 √2 したがって tan 0=- =-7 Cos 10 10 (*) 2次方程式 ax2+26'x+c=0 の解は x=- - b' ±√b^2-ac a int sin 0, cos0 どちらを 消去? sin を消去して coseに ついて解くと, 0°<0 <180° から cos = √2 √2 2' の2 10 つが得られるが, √2 cos 0=- のときは 2 sin0 <0となり適さない。 この検討を見逃すこともあ るので, cose を消去して, 符号が一定 (sin0 > 0) の sin を残す方が, 解の吟味 の手間が省ける。 PRACTICE 1160 0°≦0≦180°の 0 に対し,関係式 cose-sino=1/23 が成り立つとき,tanøの値を求 めよ。