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G
TO
M
例題
213 完全順列
[2]規則性の利用
★★★☆
5人がそれぞれプレゼントを持ち寄り,それらを1つずつ分配してプレゼ
ント交換をするとき, 次のような場合は何通りあるか。 質
(1)2人が自分のプレゼントをもらい, 残り3人が自分以外の人のプレゼ
ントをもらう場合
(2)5人すべてが自分以外の人のプレゼントをもらう場合
前問の結果の利用
(2) Aがもらう
5人をA~E,それぞれのプレゼントをae とする。
→Bがαをもらう(1)の
c, d, e の場合も同様
de の場合も同様
Bがcをもらう
を利用
⇒人... C, D, E プレゼント ・a, d, e
具体的に書き上げる方が早い。
ReAction 複雑な場合の数は,基準を定めて重複や漏れのないように数え上げよ 211
自分で定めた基準をもとに, 樹形図や辞書式配列法を利用するとよい。
5人を A, B, C, D, E とし, それぞれのプレゼントをα,
b, c, d, e とする。
思考プロセス
(1) 自分のプレゼントをもらう2人の選び方は 5C2通り
残り3人のプレゼントのもらい方は,
右の図より2通りの図のように
A B C
DEが自分のプレゼント
b.
a
よって 5C2×2=20 (通り)
(2) Aがもらうプレゼントは, 6, c d e の4通りある。
c-a-b
をもらった場合, A, B, C
が異なるプレゼントをも
らうのは、左の図の2通
りである。
388
Aがbをもらうとき, Bについて場合分けすると間
(ア) Bがαをもらうとき
全部で1帰り
(C) TTS
残り3人のプレゼントのもらい方は,(1) より 2通り C,D,Eがそれぞれc,d,
(イ) B がα 以外をもらうとき
BCD E
Bがcをもらうとき, 右の図よ
3通りあり、Bがd, e をもら
うときも同様に3通りずつある
から 3×3(通り)
a-e-d
C
d-e-a
e-a-d
(ア)(イ)より5人とも自分以外の人のプレゼントをもら
うのは 2+3×3=11 (通り)
A が c,d,eをもらう場合も同様に考えると,求める場
合の数は 11 × 4 = 44 (通り)
Point...完全順列
eから自分以外の人のプ
レゼントをもらう。
Bがcをもらった場合,
C, D, E が自分以外の人
のプレゼントをもらうの
は、左の図の3通りであ
る。
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1~nの数字を1列に並べるとき,どの数字 (1≦isn)もi番目にこないような
べ方を、完全順列という。
2131からnまでの完全順列の数をf(n) で表すとき、次のを埋めよ。
f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = ア
f(5) = 5!-{f(f() f(2) +1} = オ
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問題213
