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域
そ
味
基本
78 2次関数の最大・最小 (3)
例題
者は正の定数とする。定義域がりである関数y=x-&x+1の最大値およ
00000
a
び最小値を,次の各場合について求めよ。
(2) 2≦a<4
(1) 0<a<2
(3) a=4
(4) 4 <a
指針 定義域が 0≦x≦a であるから,αの値の増加とともに定義域の右端が動き, 図のように、
xの変域が広がっていく。 まず, 各場合のグラフをかき, 頂点と区間の両端の値を比較
して最大・最小を判断する。
(1) 軸
(2) 軸
解答
関数の式を変形すると
(2) 2≦α<4のとき
(3) α=4のとき
[1]
y=(x-2)^2-3
関数y=x²-4x+1のグラフは下に凸の放物線で,
軸は直線x=2, 頂点は点 (2,3) である。
(1) 0<a<2のとき
(4) 4 <αのとき
x
x=0で最大値1, x=2で最小値 -3
グラフは図 [1] のようになる。
x=0で最大値1, x=αで最小値α²-4a+1
グラフは図[2] のようになる。
0
0
a²-4a+1
-3
|軸
x = 0, 4で最大値1, x=2で最小値-3
a 12
(3) 軸
グラフは図 [4] のようになる。
x=αで最大値 α²-4a+1, x=2で最小値-3
最小
グラフは図 [3] のようになる。 (1=0.
O
●チートキ
a²-4a+1
0
2 ar
1/4
近
-3- |最小
(2) 3≦a<6
lax
x
[3]
0
(4) 軸
Ay 軸
最大
-3---
0140
0
チートキ
検討
例題 78 では,α=2,4が場合分けの
境目であるが
(1) 0<a<2のとき, 軸は区間の右
外。
最小
(3) a=6
ax
2<αのとき, 軸は区間内にあり
(2) 2 <a<4のとき, 軸は区間の中
央より右にあるので, x=0の方
が軸から遠い。
|a=2のときは,軸は区間の右端)
x=2) に重なる。
(3) α=4のとき, 軸は区間の中央
に一致するから, 軸と x=0, α と
の距離が等しい。
(4) 4 <a のとき, 軸は区間の中央
より左にあるから, x=α の方が
軸から遠い。
基本77
最大
■頂点
●区間の端
[4] ! Ay 軸
α2-4a+1/ 最大
1-- 12
0 670
-3-
129
(4) 6<a
Tax
ED
最小
練習 定義域が 0≦x≦a である関数 y=-x2+6x の最大値および最小値を,次の各場合
@ 78 について求めよ。
(1)a<3
3章
10 2次関数の最大・最小と決定
