(1),(2)の鉛筆で引いた棒全部の意味がわかりません。なぜこのようになるのですか？

49nを1以上の整数とするとき,次の問いに答えよ。 ① nが有理数ならば,n は整数であることを示せ。 ② (2) がともに有理数であるようなnは存在しないことを示せ。 と√n+1 (3) n+1-√n は無理数であることを示せ。 上 [富山大] →61,62

数学 答えと違うやり方でやった（二枚目）のですが、良いのでしょうか？k＝1のときを考えてないからダメだと思いますが。。

要 例題 43 虚数を係数とする 2次方程式 00000] xの方程式(1+i)x2+(k+i)x+3+3ki = 0 が実数解をもつように,実数k の値を定めよ。 また, その実数解を求めよ。 CHART & SOLUTION 2次方程式の解の判別 (x-6)=(+x)([+x) (£) ひとすると 基本 38 73 判別式は係数が実数のときに限る DOから求めようとするのは完全な誤り(下の INFORMATION 参照)。(ど)。 実数解をαとすると (1+i)μ2+(k+i)a+3+3ki=0 RBORONE ns-e+x(S-D) (1) 2章 6 この左辺をa+bi (a, b は実数) の形に変形すれば, 複素数の相等により (1) a=0, 6=0 α, kの連立方程式が得られる。 る。 .... 解答 NEDOZEURS-50-DE) to (S) 方程式の実数解をα とすると 整理して (1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0 (a2+ka+3)+(α2+α+3k)i=0 x=α を代入する。 a+bi=0 の形に整理。 α kは実数であるから, a2+ka+3, a2+α+3k も実数。この断り書きは重要。 よって ①② から ゆえに よって Q2+ka+3=0 _Q2+α+3k=0 ...... 2 (k-1)a-3(k-1)=0 (k-1)(a-3)=0 複素数の相等。 ← α を消去。 infk を消去すると k=1 または α=30= (L-n) + α-22-9=0 が得られ, [1] k=1のとき ① ② はともに α2+α+3=0 となる。 因数定理 (p.87 基本事項 2 ) を利用すれば解くことがで きる。 これを満たす実数 αは存在しないから、不適 [2] α=3 のとき ① ② はともに 12+3k=0 となる。 ゆえに k=-4 RS ←D=12-4・1・3=-11<0 ①:32+3k+3 = 0 ②:32+3+3k=0 [1] [2] から求めるkの値はk=-46 実数解は x=3 2次方程式の解と判別式 INFORMATION 2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を判別式 D=62-4ac の符号によって判別できる のは a, b c が実数のときに限る。 例えば, α=i, b=1,c=0 のとき 62-4ac=1>0 であるが, 方程式 ix'+x=0の解 はx=0, i であり、 異なる2つの実数解をもたない (p.85 STEP UP 参照)。 PRACTICE 43° 0-6040-0 の方程式 (1+i)x²+(k-i)x-(k-1+2)=0 実数解をもつ #th to a litt

数Aの反復施行の確率について質問です。 写真の問題のイの式が （５分の３）の二乗×（5分の2）の二乗があるのは分かるのですが、なぜ4P2 ではなく、4C2 をかけるのか分かりません。 PとCの違いは、私の中では並び替えるか、ただ選ぶだけなのか、の違いだと思っているので... 続きを読む

①① ール る る。 O 基本 BURD 50 大会で優勝する確率 3 415 00000 あるゲームでAがBに勝つ確率は常に一定でとする。 A,Bがゲームをし、 5 先に3ゲーム勝った方を優勝とする大会を行う。このとき、3ゲーム目で優勝が ] である。 また, 5ゲーム目まで行ってAが優勝する確率は 決まる確率は 解答 □である。 ただし, ゲームでは必ず勝負がつくものとする。 基本 49 1回のゲームで, A が勝つ (Bが勝つ) 確率が一定であり, 各回のゲームの勝敗は独立 で,これを何回か繰り返した結果の確率を考えるから, 反復試行の確率の問題である。 (ア) Aが続けて3勝するか,または, Bが続けて3勝する場合がある。 この2つの事象は互いに排反であるから 加法定理を利用して確率を求める。 (イ) 求める確率を5C3 (1/2)(7/2) としたら誤り! 5ゲームでAが優勝するのは, 4ゲーム目までにAが2勝2敗とし, 5ゲーム目でAが勝つ場合である。 CHART 反復試行の確率 1枚取り出すとき pen, r nCrp'(1-p)" 1回のゲームで A が負ける (B が勝つ) 確率は 1-- 5 = (ア) 3ゲーム目で優勝が決まるのは,Aが3ゲームとも勝 つか,または, Bが3ゲームとも勝つ場合で,これらは 排反事象であるから,求める確率は TO 3 3 27 8 35 7 + = + = 5 125 125 25 (イ)5ゲーム目まで行って, Aが優勝するのは,4ゲーム までにAが2勝2敗で, 5ゲーム目にAが勝つ場合で あるから, 求める確率は *C₂(3³)* ( 2 ) * × 3 = 6. 2². 3 55 4C21 5 5 = 検討 このような問題では,優 勝する人は最後のゲー ムに必ず勝つ,というこ とに注意が必要である。 加法定理 (1) sc₂ (3)*()* 1±. 2章 8 ⑧ 独立な試行・反復試行の確率 648 3125 5 ゲームすべて行って A が3勝2敗の確率である。 これには○○○××の ような場合が含まれてし まう。

ガウスを不等式の中に入れてるのってどういう意味ですか？

基本 例題 23 数列の極限 (6) ・・・ はさみうちの原理 3 △ 45 ①①① (1) 実数x に対して[x]をm≦x< m+1 を満たす整数とする。 このとき, [102] lim 102m を求めよ。 (2) 数列{an) の第n項 α7 はn桁の正の整数とする。 このとき, 極限 [山梨大) logio an lim を求めよ。 72 [広島市大〕 基本21 指針 この問題も、極限が直接求めにくいので、はさみうちの原理を利用する。 (1) [x] をはさむ形を作る。 x]はガウス記号であり (「チャート式基礎からの数学 I+A」 p.121 参照) [x]≦x< [x]+1 が成り立つ。 これから (2) α は n桁の正の整数 10" 'Man<10" (数学ⅡI) (1)任意自然数nに対して, [102] 10°"z<[10%"z]+1 102-1< [102]≦102 1 [102] < 10²n 102n x-1<[x]≦x <[x]≦x<[x]+1 2章 ③数列の極限 2限 [102] をはさむ形。 から 解答 よって 1 limπ 201 102πであるから [102] lim π はさみうちの原理。 102n 12-00 (2) α は n桁の正の整数であるから 各辺の常用対数をとると 10"-1≦an<10" n-1≦10g10an<n 10g1010=n よって 1 log10 an <1 n n lim (1-1) =1であるから lim log10 an 1 はさみうちの原理。 12-00 n 7→80 注注意 はさみうちの原理を誤って使用した記述例 例えば、前ページの例題22の解答で, A 以降を次のように書くと正しくない答案となる。 0<<6 Aから n² 0<lim- <lim → 2 6 n =0 よって lim n2 =0 2 [説明] はさみうちの原理は 818 an≦cn≦bn のとき lima= limb = αならば limc=α →80 n00 これは, 「acn≦bn が成り立つとき, 極限lima, limb が存在し, それらがαで一致する ならば,{c}についても極限limc が存在し, それはαに一致する」という意味である。 72700 72100 において, 存在がまだ確認できていない極限lim を有限な値として存 上の答案では, 在するように書いてしまっているところが正しくない。 正しくは、 前ページの解答のA, B のような流れで書く必要がある。 n² 11-00271 練習 実数 α に対してαを超えない最大の整数を [α] と書く。 [ ]をガウス記号という。 23 (1) 自然数の桁数kをガウス記号を用いて表すと, k =[[ ] である。 (2)自然数nに対して3”の桁数を km で表すと, lim- kn 12-00 n "である。 [慶応大]

ウエについて、解答の点(6,0)はどのように考えて出せばよいのでしょうか？

2直線h:2x-3y-12=0, L:-(a+3)x+ (2a-1)y-70 を考える。 28 (1)が平行となるとき, 定数αの値は α アイである。 またこのとき,2直線との距離はウェ である。

どうしてS(2n)でやるんですか？

63 32 部分和 San-1 S2 を考える ののののの 1 無限級数 1 1 + +.. ****** 32 22 33 の和を求めよ。 基本31 2章 無限級数 国の和であ ように してもより →0, のとき CHART & THINKING 無限級数 まず部分和 S 基本例題31と同じと考えて,第n項を (1) とし,和Sを 右のように求めてはいけない。 ここでは,( )がついていないから, やはり, S を求めて n→∞の方針で解く。 ところが, S は奇 数項までと偶数項までで異なるから, nの式では1通りに表されない。 S=- 12 1 よって, S2n-1, S2 の場合に分けて調べる。 S21-1 は S27 を用いて表すことを考えよう。 [1] limS2-1 = limSzn = S ならば limS=S →8 [2] limS2-1≠lim Szn ならば {S} は発散 8818 注意 無限級数の計算では、勝手に()でくくったり, 項の順序を変えてはならない! この無限級数の第n項までの部分和を S とする。 S2n=1- Sz.-1-1+1-3+1-31+ 2 32 22 = (1 + 1/2 + 1/2 + ----+ 2 1 -1) 22 ・+ 1 3 + + 32 +......+ 33 3n 1 1-3 1 1 2-1 3" ←部分和 (有限個の和) な ら()でくくってよい。 初項1,公比の等比数 列の和。 2 1 1 2 数列の和。 1 1 2% 2 3" 2 よって lim S2n=2- 1 3 n→∞ 2 2 また lim S27-1=lim(S2n+3)= lim S2n+lim n→∞ n→∞ 718 lim Szn=lim S2n-1 →∞ 3 2 であるから, 求める和は この例題の無限級数 α+b+a2+b+....+an+bn+ の和は,無限級数 inf. =0,lim/ -=0 = lim S2nS2n-1=S2n-azn n-00 - S.-(-3) =S2n- {San} も {3} も収束する。 (a+b)+(az+bz)+…+(an+6m)+・・・・・・ の和と同じ結果になる。 結果が異なる場合に ついては, PRACTICE 32 の解答編の inf. や EXERCISES 30 を参照。 PRACTICE 323 2 2 lim 1-∞0 271 ... B 3" n→∞ 2 3|2 七級数の収束薬品 または[r]<1 和は を確認する。 次の無限級数の和を求めよ。 (12/2/+/+//+//+/12/23+1/2/3+..... (2) 1++++++++ 3 4 9 8 27 +...... 864A 出

この問題が合っているか見て欲しいです！ ご回答よろしくお願いします！

問1 次の連立方程式を解きなさい。 0.9x-0.2y=1.3 (1) 2章 連立方程式 x+y=10 (2) Jx+5y=-15 0.4x+0.6g=1

集合と命題の分野なのですが、（1）について教えて頂きたいです。p^2とq^2の最大公約数がq^2とわかったのはなぜですか...？教えて頂きたいです。

EX 49 を1以上の整数とするとき, 次の問いに答えよ。)合 (1)√n が有理数ならば,n は整数であることを示せ。 (2)√√n+1がともに有理数であるようなnは存在しないことを示せ。 (3) n+1-nは無理数であることを示せ。 [富山大〕 <ポイント> (1)√n が有理数であるとすると 有理数は分散におきかえ ✓n=P(p, gは互いに素である正の整数) ① ← 0 であるから, p と表される。 このとき,g=1であることを示す。 く「正の整数」としてい る。 q は 「整数」ではな 小さい方の数を取る とす する。 ①から,ng=pであり,この両辺を2乗すると nq² = p² ② pgは互いに素であるから, かと Q2 も互いに素である。 ②から、かと2の最大公約数は Q2 である。 よって,と q'が互いに素であることから g2=1 すなわち g=1 ゆえに、①からn=pであり√n は整数である。 以上から、nが有理数ならば, n は整数である。 いう意味 ← ng² と q2 の最大公約 数 である。 ←n=pからは 正の整数である。

55.1 点線の下線部、x^n-1=(x-1)...のところがあまりピンときません。なぜこう言えるのでしょうか？？

(x-2)で を考える。 二余りは、 1 または定数 , 2 b,cの を見つけな 1式)から ち6=3 下の練習 5 有効である。 を 伺ったときの すると、 ら (x-2)(x) +2)+R(土) 2 +al+RU を代入 がらで ったときの余り 00000 2以上の自然数とするとき, x-1 を (x-1)^2で割ったときの余りを求 [学習院大 ] めよ。 3x100+ 2x7 +1をx2 +1で割ったときの余りを求めよ。 ( 2 ) 指針 .88~90 でも学習したように, 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 ① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 R の次数に注意 B = 0 を考える がポイント。 (1) (2) ともに割る式は2次式であるから, 余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが、それだけでは足りない。 そこで,次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1 a"-6"=(a-b)(a-1+α 2b+α"-362+ +ab+b^-1) (2) x2+1=0の解はx=± x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 解答 (1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b | 解 (1) 二項定理の利用。 とすると 次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 x-1=(x-1)'Q(x)+ax+b..... ① 両辺にx=1 を代入すると ① に代入して x"-1=(x-1)'Q(x)+ax-a 0=a+b すなわち b = -a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} ここで, x”−1=(x-1)(x"-1+x"-2+ ······ +1) であるから x-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α 個 b=-n b=-αであるから a=n よって ゆえに, 求める余りは nx-n (2) 3x100+ 2x97 +1 を x²+1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。 3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 両辺にx=i を代入すると 3i100+2i07+1=ai+b j100= (i2)50=(−1)=1, 7°= (j') i=(-1) i=i であるから 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai すなわち α, b は実数であるから したがって 求める余りは 基本 53,54 a=2, b=4 2x+4 練習 (1) 955 (2) x2+x+1をx+4で割ったときの余りを求めよ。 Ch(x-1)"+..+n C2(x-1) 2 + Ci(x-1)+1−1 =(x-1)^{(x-1)^2+...+nC2} nx-n ゆえに,余りは nx-n また, (x-α)の割り算は微 分法(第6章) を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)。 微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 xiは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから, 余りの係数も当 然実数である。 2以上の自然数とするとき, x を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 p.94 EX39 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

55.2 値の知れないQ(x)を消したいからx^2-1=0としたいけどx=iと置いていいのか躊躇しました。求めるxが整数、自然数、有理数とか書いてなければx=iとおいてもいいのでしょうか？

-3x+71 求めよ。 る。......... -1)(x-2) りを考える。 った余りは、 弐または定数 て 1,2 b,cの値 りを見つける 1式)から ■ち b=3 ここの練習5 効である。 を ったときの すると, (-2)(x) 2) +R(x)) a)+R( 代入。 5であ 38 ► 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り (1 x"-1 を (x-1)²で割ったときの余りを求 2以上の自然数とするとき, めよ｡ (23x100+ 2x7 +1 を x2 +1 で割ったときの余りを求めよ。 指針 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 p.88~90 でも学習したように, ① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 R の次数に注意, B=0 を考える がポイント。 (12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが, それだけでは足りない。 そこで、 次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1 α-b²=(a-b)(a-1+α-26+α"362+..+ab^2+b^-1) |x-1=(x-1)'Q(x) +ax+b••••• ① (2)x+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 両辺にx=1 を代入すると ①に代入して x-1=(x-1)*Q(x+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 解答 (1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b 解 (1) 二項定理の利用。 とすると,次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 0=a+b すなわち b=-a ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+・・・・・・+1) であるから xn-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α a=n よって b=-αであるから ゆえに, 求める余りは nx-n (2) 3x100+2x+1 を x² +1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。 3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 00000 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai n 両辺にx=i を代入すると 3i100+ 27 +1=ai+b i100= (i2)50=(−1)=1, "= (i²) i=(-1)*i=i であるから すなわち a,b は実数であるから したがって 求める余りは 2x+4 [学習院大 ] a=2, b=4 b=-n 基本 53.54 =Cn(x-1)^+..+n Cz(x-1)2 +mCl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^^2+..+°Cz} tron ゆえに, 余りはnx-n また, (x-α)の割り算は微 分法(第6章) を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)。 微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 (p.94 EX39 55 (2) xlo+x+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。 91 2章 10 剰余の定理と因数定理