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***Exercise
図
を0,
上での光の屈折を考える. 点P (-1, y) から出た光は,原点Oで屈折し、点Q
から
波に
制限時間20分
図のように、屈折率 n, の媒質I と屈折率 n2 の媒質Ⅱの境界上に軸をとり
フェルマーの原理によるスネルの法則の導出
第1講 ② 2つの原理
PO'
O'Q
t=
+
C
C
1 + 4x)² + 11 ² + 12 √(x² - 40)² + 1
2- y²² }
n₁
72
に達するとし, 線分OPとy軸のなす角を 01, 線分OQとy軸のなす角を62といて, 4æl, m1, 1, 2, y2に比べて極めて小さい値とし, tの近似値を求める .
2,y2 は正の定数であり, 0000290°である. 4ælを
PO′=
√(x + 4x)² + y²
= √x₁² + y₁² + 2x₁ 4x + (Ax)²
2,y2に比べて極めて小さい値とし, 点O' (4x, 0) を定めれば, 光が点から小項の2乗 (4) は他の項に比べて極めて小さいので無視できる.
Qに達する時間 t と, 光が点P から点0を経て点 Qに達する時間もと
△t=t-toは0と見なせる.
y
Y1
Ax
O'
X2
→
O
PO√x²+y+2x4x = √x²+ y²
ewton の1次近似より、
PO'≒2+y^ 1 +
1 2x4x
2m²+y/2
2x Ax
x² + y²
つくる
(+)
αの大きさが1に比べて
極めて小さい場合
(1+α) ≒ 1 + αβ
1
媒質 I
x+y/i +
AC
√x₁² + y₁²
Newton の1次近似
Qも同様に近似すれば,
T2
媒質Ⅱ
'Q=(2-z)^2+y22≒
x2+222
Ax
V2
ここで、
4t=t-to
π2
-Y2
x1
++
4c+n2 Vπ22+y2
122+y24
(1)
このことから、光の屈折におけるスネルの法則, n, sinQ=nsin2 を導け.
(√x²+ y²+√x²+ y²)
(2)
π2
1
Ac
Exercise Ans.
At =
m
2
2+yi
+
光が点Pから点Oを経て点Qに達する時間to を求める. 三平方の定理より、
PO= = √√x₁ ² + y² ², OQ = √x²² + y²²
が最小到達時間であるから, わずかに屈折点の位置をずらしても到達時間はさして変
わらないゆえに, 時間差4tは微小変位の値に依らず0でよい. 上式より,
真空中の光速度をcとすれば,媒質Iでの光速度は,媒質Ⅱでの光速度は一
21
2
=n2
112
2+ y
VIz2+y2
て,
ここで、入射角と屈折角の定義から,
T2
PO OQ
C
C
to = + = ± ± (m₁ √x² + y² + n₂ √x² + y²
1
2
sin 6 =
sin02=
n
n2
同様に,光が点Pから点0′を経て点Qに達する時間tは,
以上より, スネルの法則
n, sin ₁ = n₂ sinė₂
が導かれた.
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