46 軌跡(IV)
放物線 y=x-2x+1 と直線 y=mx について,次の問いに
答えよ.
(1) 上の放物線と直線が異なる2点 P, Qで交わるためのmの範
囲を求めよ.
(2) 線分 PQ の中点Mの座標をm で表せ.
(3)m が(1)で求めた範囲を動くとき,点Mの軌跡を求めよ.
|精講
(1) 放物線と直線の位置関係は,連立させて」を消去した2次方程
式の判別式を考えます。
$212
異なる2点とかいてあるので,判別式≧0 ではありません。
(2) (1) 2次方程式の2がPとQのx座標ですが, mを含んだ式になるの
で2解をα,βとおいて,解と係数の関係を利用した方が計算がラクです.
(3) (1)において,に範囲がついている点に注意します.
(45III)
解答
y=x²-2x+1………①, y=mx ②
(1)①,②より,yを消去して,x²-(m+2)x+1=0 ......③mia)
③は異なる2つの実数解をもつので,
判別式をDとすると,D>0
D=(m+2)2-4 であるから
∴m(m+4)>0
m<-4,0<m
(2)/ ③の2解をα, β-とすれば,
m²+4m>0
2)/
y
P(a, ma), Q(B, mβ)とおける
y=x^2-2x+1
このとき,M(x,y)とすれば,
x=
a+B _m(a+β)
y=
2
ここで,解と係数の関係より
Ya+β=m+2 だから
M
2
=mx
4)
P
α 1
Bx
y=mx
