本例題 105
63 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。
40
1
12
441
6' 196
がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。
条件 約数の個数
24の倍数で,正の約数の個数が21個である自然数nを求めよ。
173)
63n
3 In
32.7n
1 40 V 2³.5
2 V 2.5
数となるような最小の自然数nは
>いずれの問題も 素因数分解が,問題解決のカギを握る。
(1) A" (mは偶数) の形になれば, 根号をはずすことができるから、√の中の数を素
因数分解しておくと、考えやすくなる。
(2) 13m (mは自然数)とおいて, n²
=m
6
n
(2) = (mは自然数) とおくと
6
D. 432 B3), (4) 00000
(3) N = pqrf...の正の約数の個数は
つまり個数となる数を積で表し、指数となるα b.
21 を積で表すと 21・17･3であるから、nは
n³ 2³.3³.7³k³
441
3².7²
n³
196' 441
が自然数となる条件を考える。
n=2.3m
=23.3.7k3
(a+1)(b+1)(c+1)・
であるから,これが有理
n=2・5・7=70
またはカ ートの形。
･･････ の値を決めるとよい
ゆえに
n² _24.32m²_32m² 3m
196 22.72
これが自然数となるのは,mが7の倍数のときであるから、
m=7k(kは自然数) とおくと
n = 2.3.7k...･・･
よって
これが自然数となるもので最小のものは, k=1のときであ
るから,①にk=1 を代入して n=42
(3) nの正の約数の個数は21=21.1=73) であるから, nは
が またはQ² (p、qは異なる素数, p<4) の形で表される。
は24の倍数であり, 24=2･3であるから、nは2の形
で表され、求める自然数nは n=26.32=576
61x30 att f
↑圧」
有理数で表せる
無理益ー
せな
3 7
112√√2/15
=1212.7 = 22 となる。
-×2・5・7
とか
<①より kが最小のとき､n
も最小となる。
435
21-1から pai-lgil
7.3 から 13
の形と考えられる。
<p=2.g=3
1.
