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3 漸化式と数学的帰納法
(73)
B
例題 B1.33 漸化式 an+1=pan+f(n) (p≠1)
****
a1=3, am+1=3am +2n+3 で定義される数列{a} の一般項 α を求めよ.
考え方 ■1漸化式 +1=3a+2n+3 において,見をしつ先に進めてα+2とQs+)に関す
る関係式を作り,差をとってに関する漸化式を導く。
wwwwwwwwwwwwwwwwww
2αに加える(または引く)nの1次式pn+g を決定することにより,
{an+pn+g} が等比数列になるようにする.
解答 -1 an+1=3a+2n+3
ante= 30+1+2(n+1)+3
......②
② ① より an+2an+1=3(an+1-am)+2
buvandy とおくと,
~~~
b+1=36+2,
b=a-a=3a,+2+3-a=11
り bn+1+1=3(b+1), b1+1=12
したがって, 数列{bm+1}は初項 12. 公比3の等比数列
だから, bm+1=12・3" =4・3" b=4.3"-1
-1
②は①のnn+1
を代入したもの
差を作り, nを消去
する.
①より,
a2=3a,+2+3=14
α=3α+2 より
α=-1
12・3"=4・3・3"-1
=4.3"
2のとき
-1
an a+b=3+Σ(4·3-1)=3+1
12(3"-1-1)
--(n-1)
k=1
k=1
3-1
=6.3" '-n-2=2・3"-n-2
n=1のとき,a=2・3-1-2=3 より成り立つ.
6.3" =2・3・3"-1
=2.3"
よって, an=2.3"-n-2
どこかち?
解答 -2pg を定数とし, au+1+p(n+1)+q=3an+pn+g) とおくと
an+1=3an+2pn+2g-p
うちの
もとの漸化式と比較して, 2p=2, 2g-p=3より,p=1,g=2
したがって, att(n+1)+2=3(a+n+2), a1+1+2=6
いい!!より、数列{an+nは初項 6. 公比3の等比数列
よって, an+n+2=6・3" '=23" より.
Focus
練習
どこから
n=1のときを確認
an+1+pn+p+g
=3a+3pn+3g よ
り, an+1=3a+2p2
+2q-
an=2.3"-n-2a1=3
an+1=pan+f(n) (f(n) はnの1次式)
差を作り, n を消去して階差数列を利用して考える
注〉 例題 B1.32 (p.B1-53) のように例題 B1.33 でも特性方程式を使うと, α=3a+2n+3
3
りα=-n- となる。これより、au+2=3(mjn+12)
順番になっていない
と変形できるが, 等比数列を表していないので,このことを用いることはできない
注意しよう. (p. B1-56 解説参照)
1=2+1=20-2n+1 (n=1, 2, 3, ...) によって定められる数列{a}
B1.33 ついて
**
(1) by=a-(an+β) とおいて, 数列 {bm} が等比数列になるように定数α.
の値を定めよ.
(2) 一般項 α を求めよ.
(滋賀
