Step U
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例題 15
二項係数の関係式(2))
nを正の整数として, 次の等式を証明せよ。
(1) C'C'+"C22+ "C32+......+C2=2C
(2)
2≦n,r=1,2,
.....*,
n-1のとき, nCr=n-1Cr+n-C
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え方 (1) (1+x)=(1+x)".(x+1)” であるから (1+x) 2” の展開式における
(1+x)" ×(x+1)” の展開式における x” の係数は一致する。」
答
(2) (1+x)*= (1+x) (1+x)"-1であり, 両辺のの係数は一致する.
の
(1) 二項定理 (a+b)" = "Coa"+"Cia" 'b+nCza"-262+......+.Cabにおい
a=1 b=x とおくと、
(1+x)"="Co+nix+2x2+....+mCmx"
a=x, b=1 とおくと、
(x+1)"="Cox"+"Cix”-1+nCzx"-2+......+mCm
(1 + x)^*= (1+x)" (x+1)" が成り立ち
2n
(1+x)2" の展開式における x”の係数は 27 Ch
また.
(1+x)". (x+1)*
かけるとかになる
+nCx")
……... ①
4.23
=(nCo+mCix+nCzx2
xnCox"+mix+2x2++mCm)
の展開式における x” の係数は,
CoxCo+CXC₁ + C₂ X C₂ + + n Cn × n C n
=,C2+,Ci2+,C22+C3'++,C2 ......
②
① ② は一致するから,
C'+C'+,C2+,C32++,C2=2C
(2) (1+x)"=(1+x) (1+x)"-1 である.
(t)=(1+x)(-Co+n-C₁x +n-1C2x² + ..+n-1Cx-1x-1)
....n-1より
の展開式におけるxの係数は、2≦n.r=1.2. .......
Cr+1C-1 である。
これは,左辺 (1+x)" の展開式におけるxの係数, C, と一致する。
よって, 2n, r=1,2,
・1のとき
Cr=n-Cr+n-Cr-1
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