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基本 例題61
1の3乗根とその性質
2次方
(1) 1の3乗根を求めよ。
(2) 1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをωとする。
(ア) °も1の3乗根であることを示せ。
本民大
1
1
う。
+-+1, (ω+2ω°)?+(2ω+w°)° の値をそれぞれ求めよ。
の?
の
tに関
基本 58
指針>(1) 3乗してaになる数,すなわち, 方程式x°=aの解を, aの 3乗根という。
(2) (ア) (1) で求めた方程式x°=1の虚数解を2乗して確かめる。
(イ) oは方程式x+x+1=0, x=1 の解→。+e+1=0, ω°=1
2章
11
解答
高
ら、両
お、
辺に代
2とな
次
(1) xを1の3乗根とすると
x=1
x°-1=0 よって
x-1=0 または x+x+1=0
ゆえに
(x-1)(x°+x+1)=0
したがって
-1土、3i
1,
43次方程式の解は複素数の
範囲で3個。 の
oはギリシャ文字で, 「オ
メガ」と読む。
これを解いて, 1の3乗根は
2
ab
-1+V3i
(2)(ア) 0=
とすると
2
-1+V3i
1-2/3i+32_-1-V3i
の?=
4
2
i とすると
-1-V3i
の=
2
検討
=0に
1+23i+3_-1+V3i
2
=1の虚数解のうち, どち
らをoとしても, 他方が ω°
となる。よって, 1の3乗根
は 1, o, ω
の?=
2
4
よって, o?も1の3乗根である。
(イ) oは方程式x+x+1=0, x=1 の解であるから
の°+の+1=0, ω=1
替える
よって
o7+の=(o°)e+(ω°).w"=e+e:=-1 う =1を利用して、 次数を
下げる。
+2
1
の+1+の?
=0
1
また
の?
の
こにな
0?+o+1=0 から, ω=-w-1となり
(o+20°)+(20+o)?= {e+2(-ω-1)}°+(2ω-ω-1)
Ae=lel1を利用して,
次数を下げる。
対称式
=(-o-2)+(o-1)°=2w°+2w+5
42(o°+o+1)+3=2-0+3
としてもよい。
き。
とが
=2(-o-1)+2w+5=3
② 心ー1
POINT
1の虚数の3乗根 oの性質 o°+e+1=0
練習
oがx+x+1=0 の解の1つであるとき,次の式の値を求めよ。
1
1
61
2
(1) o100+の50
の
o*
(p.110 EX4
(3)(o200 +1)100+(ω100+1)0+2
方 程式
