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重要 例題 35
次の条件を満たす整数の組 (Q1. 2, 3, 4,
(1) 1sa, Sa, Sassa, sa, ≤4
0000
425) の個数を求めよ。
atatastastas, al, a≧0 (i=2,3,4,5)
指針 (1) 1.2.3.4の4個の数字から重複を許して5個を選び、小さい数から順に
解答
(2)条件が (1) と似ているから, (1) が利用できないかどうかを考える。
･･････αs を対応させればよい。 →求める個数は、重複組合せに一致する。
(1)(2)の問題
(1) は(2)のヒント
b=a, b2=a1+az, ba=a,+a2+a3, ba=as+aztastas.bs=astastastat
とおくと
1≤bbbb₁≤b,≤4
(1)の条件と同じ!
(by, bz, b3, 64, bs) が決まれば, 直ちに (a, az, d3, 4, as) も決まる。
(1) 条件を満たす整数の組 (α1, a2, 3, 4, α5) の個数は,
1234の4個の数字から重複を許して5個取る組合せの 5 つのと3つの
数であるから
Hs=4+6-1Cs=8C5=8C3=56 (個)
(2) by=ax, b2=a1+az, b3=a1+a2+a3, ba=a1+a2+astas,
bs=a1+a2+as+α+αs とおくと
1≤bib₂b3b4b5≤4
よって、この不等式を満たす整数の組 (b1, 62, 63, 64, bs)
の個数は, (1) から 56個
ここで (b1, bz, 63, 64, bs) の1つの組に対して
(a,a2, 3, a, α5) の組はただ1つに決まる。
したがって, 求める組の個数は 56個
別解 α-1=A, A+az+a+α+α5=S とおく。
求める個数は, S= 0, 1, 2, 3 をそれぞれ満たす 0 以上の整
数の組 (A,a2, a3, 4, α5) の総数に等しい。
を1列に並べる
に一致する。 例え
00101100
123
は, a=1,=1
α=4,as=4を
例えば、
(bl. bz, b
=(1.1.2.4
であるとき
(as, az as
=(1.0.1.2
S=3のとき,異なる5種類のものから、重複を許して3個取 前ページの基
る組合せの数を求めて
5H3=5+3-1C3=7C3=35 (個)
参照。
S=2のとき, 同様に考えて 5H2=5+2-1C2=6C2=15(個)
S=1のとき5個, S=0のとき1個。 以上から
練習
(4)
56個
<35+15+5+
数123を重複を許してn個並べてできる数の組 (41,42,
35 (1) 条件 a≦a≦ Man = j を満たす組が Am (j) 通りあるとする。
j=1,2,3とする。 An (2) Am(3) を求めよ。
(2)n≧2のとき、次の条件を満たす数の組は何通りあるか。
amaz...... Man- かつ an-1>an
