里安例題T02 放物線と円の共有点 接点
放物線y=x°+aと円x+y?=9 について,次のものを求めよ。
(1) この放物線と円が接するとき, 定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲
基本 95
指針>放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針
共有点→実数解
で考えればよい。
この問題では,xを消去して、yの2次方程式(yーa)+y°=9の美然
解,重解を考える。放物線の頂点は v軸上にあることにも注意。
(1) 放物線と円が 接する とは、円と放物線が共通の接線をもつこと
である。この問題では、右の図のように.2点で接する場合と1点
で接する場合がある。
(2) 放物線を上下に動かし、 (1)の結果も利用して条件を満たすaの値の範囲を見極める。
接点→重解
1点で
接する
ct
2点で接する
解答
(1) y=x°+aから
これをx°+y?=9に代入して
<xを消去すると, yの2次
方程式が導かれる。
x=y-a
(y-a)+y?=9
よって
y+yーa-9=0
x=9-y20
ゆえに -3<yハ3
ここで,x°+y°=9から
[1] 放物線と円が2点で接
する場合
2次方程式Oは②の範囲
にある重解をもつ。
よって, ①の判別式をD
37
4
a=-3
a=3
a=
ツ
3|
3
3-
13
x
0
/3 x
0
-3(0 J3
-3
とすると
D=0
37
D=1°-4-1-(-a-9)
4
=4a+37
た吹の 37
であるから
4a+37=0 すなわち a=ー
4
る。ああアら
(2次方程式
このとき, ①の解は y=-号となり, ② を満たす。
ニー-
py°+qy+r=0の重解は
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点(0, 3), (0, -3) で接する場合で
9
ソ=ー
2p
a=±3
頂点のy座標に注目。
以上から,求めるaの値は
37
土3
4
a=ー
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは, 右の図から, 放物
線の頂点 (0, a) が, 点(0, ー)から点(0, -3)を結ぶ線
37
分上(端点を除く)にあるときである。
-310
37
くa<-3
したがって
一