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●1 絶対値、実数条件・
(茨城大・教-後)
(ア) 複素数α.βが|α|=2, |B|=3,|a+B|=4 を満たすとき, aβ+αß, |α-βの値を求めよ、
(工学院大)
複素数 α, B, y が α+B+y=0,la|=|B|=|x|=1を満たすとき, la-B12+α-y1=_
3
ウ) +
が実数となる複素数zの全体を,複素数平面上に図示しなさい。
2
共役複素数と絶対値
複素数z=x+yi(z, y は実数)に対し, z=x-yi を zの共役複素数という。
複素数zの絶対値|z|は,|z|=√x+y^と定義される.複素数の絶対値と共役複素数について,
zz=|z|2,a+B=a+B, aB=a B, lab|= |a||B|,|a|= |a|
などが成り立ち、こと”を用いた「成分表示｣をしないでスマートに解けることも多い.
上のzについて,『zが実数
実数条件
y=0」
(津田塾大(推薦),熊本大・教)
素朴だけどAの方が混乱しにくく, 有効なことが
え=z』ととらえることができる。
A である.共役複素数を用いると,
「zが実数
少なくない。とくに,複素数平面上に図示するケースでは、 Aの方法で十分だろう.
解答
(7) \a+B|²=(a+ß) (a+ß)=(a+ß)(a +B) = |a|²+aß+Ba+|B|²
これと|a|=2,|B|=3, | α+B|=4により, 16=4+ αβ + Ba +9
:. aß+aß=3
よって, la-B|2=(a-β) (a-B)=| α-(aB+Ba)+|B|2=4-3+9=10
∴. |α-β|=√10
(イ) |a-β|+|α-y|²=(a-β) (α-β)+(α-y)(a-y)
= (a-B)(a-B)+(a−y) (a−y)
= aa - aB-Ba + BB+ ad-ay-ra+ry
=2|α|2+|B|+|y|l-α(B+y) -a (B+y)
α+B+y=0 により,B+y=-α,B+y=-αであり,|a|=|B|=|x|=1であ
①=4-α(−a)-d(-α)=4+2|α|=6
1
x+yi
るから,
(ウ)=x+yi (x, y は実数) とおくと,
1
z+ -=x+yi+
-=x+yi+·
2
-y
y (x2+y2-1)
この虚部は,y+
x2+y2
x2+y2
① = 0, z=0. により, y=0 (原点を除く)または x2+y²=1で上図.
x-yi
x² + y²
ya
1 x
■前半は, l|, , la+引が分かっ
ていれば,
|a+b|²= |a|²+2à·b+√b²|²
の値が分かるのとほほ
から
同じことである.
うっかり,
|a-B12=a2-2aB+B2
などとしないように!! 虚数wに
対しては,|w|2=w2は不成立!
正しくは,|w|2=ww である.
■共役複素数を使うと ( 略解 )
1
+= =z+=のときで,両辺
2
Z
にzzを掛けて整理すると、
(z_z)(|z|2-1)=0
1/zを考えるから,x≠0
