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基本例
例題 126 一般の量
底面の半径が5cm, 高さが10cm
1の直円錐状の容器を逆さまに置く。こ
2cmsの割合で静かに水を注ぐ。 水の深さが4cm
のものを求めよ。
(1) 水面の上昇する速さ
この
1 になる瞬間において、
(2) 水面の面積の増加する割合
/p.209 基本事項
t秒後の水の体積V, 水面の半径r, 水の深さん, 水面の面積Sはすべて時間によって
指針
変化する量である。 この問題では,水の体積の増加する割合 (速さ)がCV
dt
dt
) dh, (2) ds
dS
dt
の値であるが、
られている。 求めたいものは,h=4のときの (1)
で
問題ではh, Sをそれぞれt で表すよりも各量の間の関係式を作り、それをして
分する (合成関数の微分) 方法が有効である。
t秒後の水の体積を cm とすると
基本事項
1 1次
2
解
2次
1次の
関数
は
dv
解答
-=2(cm/s)
(1)
dt
10
(1) t秒後の水面の半径をrcm,
水の深さをん cm とすると
h
条件から r:h=5:10
よって r=
これを1/2に代入してv=1/2=(1/2)n=1/2
h
1
π
h
лh³
dV 1
dh
両辺を tで微分して
=
Th²
2
dt
(1)は,次のように
てもよい。
4
dt
①から 2=
2
πh²dh
dh 8
V=2t & V=
ゆえに
4
dt
dt
лh²
よって, h=4のと
dh
8
から たん
1
dt π42 2π
(2) t秒後の水面の面積をScm² とすると
=
(cm/s)
両辺を微分して
S=ur2
1=
h
r= を代入して
1
S==Th²
2
4
両辺を tで微分して
dS
1
dh
=
Th-
dt
dt
dh
dt th
ら
h=4のときの水面の面積の増加する割合は, (1) の結果か
dh_1(cm)
dt 2π
よって,h=4のとき
dS 1
dt
2
2π
л•4• =1(cm²/s)
「練習 表面積が4cm²/s.
す
ま
E
