y=2(x-1)
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重要 例題 200
3次関数のグラフに引ける接線の本数
曲線 C:y=x-9x2+15x-7 に対して, y軸上の点A(0, α) から相異なる
3本の接線を引くことができるように, 実数αの値の範囲を定めよ。
CHART & SOLUTION
3次関数のグラフの接線
接点が異なると、 接線が異なる
[ 日本歯大)
基本 175
したがって、(接点の個数)=(接線の本数)が成立する。 (次ページの
曲線上の点(1-912+151-7) における接線が点A(0, α) を通る。
→ 接線の方程式に (0, α) を代入してf(t) =α の形にする。
INFORMATION
→曲線 y=f(t) は固定し, 直線 y=αを動かし, 曲線と直線の共有点について調べる。
解答
y=x-9x2+15x-7 から
y'=3x²-18x+15
曲線C上の点(t, パー9t2+15t-7) における接線の方程式は
y-(-9t2+15t-7)=(3t-18t+15)(x-t)
すなわち y=(3t-18t+15)x-213+912-7
この直線が点A(0, α) を通るとき
-213+912-7=a ...... ①
3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。
ゆえに,tの3次方程式 ① が異なる3つの実数解をもつとき,
点Aから曲線に3本の接線が引ける。
定数αを分離。
この断り書きは重要
ここで,f(t)=-213+9t2-7 とすると
f'(t)=-6t2+18t
y
=-6t(t-3)
20
y=20
f(t) の増減表は次のようになる。
a
y=a
t
0
...
3
...
0
f'(t)
-
0 + 0
3
t
f(t)=αの実数解の
I
y=f(t),y=a の共産
f(t) \ 極小
-7
>
極大
y=-7
点の個数
20
y=f(t)
よって, y=f(t) のグラフは上の図のようになる。
④①の異なる実数解の個数, すなわち y=f(t)のグラフと直
線 y=a の共有点の個数が3となるようなαの値の範囲は
-7<a<20
Lint.
Cに引ける接線の本数は
a=-7,20のとき2本; a<-7,20 <αのとき1本
である。
C上の接点の個数
I
C引ける接線の
