第3節 軌跡と領域 109
与えられた条件を満たす点Pの軌跡が図形Fであることを示すには,
次の2つのことを証明する。
1 その条件を満たす任意の点Pは,図形上にある。
2 図形F上の任意の点Pは、その条件を満たす。
【補足】 2が明らかな場合,その証明を省略することがある。
例題
10
2点A(0,0), B(3,0) からの距離の比が2:1である点Pの
軌跡を求めよ。
解
点Pの座標を (x,y) とする。
P(x, y)
Pの満たす条件は
AP: BP=2:1
B.
0
2 3
4
16x
これより AP=2BP
第3
図形と方程式
すなわち AP2=4BP2
AP2=x2+y2, BP2=(x-3)"+y2 を代入すると
x2+y2=4{(x-3)2 +y2} 整理すると x2+y2-8x+12=0
すなわち
(x-4)2+y=22
ゆえに、条件を満たす点Pは,円 ①上にある。
逆に,円 ①上の任意の点P(x, y) は, 条件を満たす。
よって, 求める軌跡は, 中心が点 (4,0), 半径が20円である。
■足】 m, n は正の数とする。 一般に, m≠nならば, 2点A, B からの距離の
比がminである点の軌跡は, 線分ABをmin に内分する点と外分す
る点を直径の両端とする円である。 この円をアポロニウスの円という。
2点A(-1,0), B2, 0) からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を
求めよ。
2点A(0,0),B(30) と点P を頂点とする △PAB が, AP: BP=2:1を満
たしながら変化するとき, 点Pの軌跡を求めてみよう。
