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る。
座標,座
(1) 領域は,右図のように, x軸, y 軸, 直線
y=-
2
1
x+nで囲まれた三角形の周および
内部である。
457
yA
n
n-
y=-
(x=2n-2y)
直線 y=k(k=n, n-1,……………,0)上には,
基本 20,21
よって, 格子点の総数は
=n2+2n+1
=(n+1) (個)
(2n-2k+1) 個の格子点が並ぶ。
k=0
(2n-2k+1)=(2n-2.0+1)+(-2k+2n+1)
k=1
=2n+1-2・1/13n(n+1)+(2n+1)n
1
0
1 2
2n-21 2n
1
2n-1
k=0 の値を別扱いにし
たが、
-2k+(2n+1)1
k=0
--2-(n+1)
k=0
+(2n+1)(n+1)
でもよい。
章
3種々の数列
別解 線分x+2y=2n (0≦y≦n)
上の格子点 (0, n), (2-1),
(2n, 0) の個数は n+1
YA
-x+2y=2n
n
2-2y
点が並ぶ
止める個数
4(0, 0), (2n, 0), (2n, n),
(0, n) を頂点とする長方形の周
および内部にある格子点の個数は
(2n+1)(n+1)
②の方針
X
長方形は, 対角線で2つ
の合同な三角形に分けら
0
2n
(n+1) 個
れる。
ゆえに、求める格子点の個数をNとすると
2N-(n+1)=(2n+1)(n+1)
よって
( 求める格子点の数) ×2
- 対角線上の格子点の数)
=(長方形の周および内
部にある格子点の数)
よってN={(2n+1)(n+1)+(n+1)}
Jei (AZ)
=1212 (n+1)(2n+2)=(n+1)(個)
(2)領域は,右図のように, y軸, 直線 y=n2, 放物線
y
y=x2
y=x2 で囲まれた部分である (境界線を含む)。
直線x=(k=0, 1,2,
....... n) 上には,
n²
n2-1
(n-k2+1) 個の格子点が並ぶ。
n2+1
よって, 格子点の総数は
個
は
nとお
る。
練習
32
k=0
(n²-k²+1)=(n²-0²+1)+(n²+1-k²)
1
k=1
0
x
= (n²+1)+(n²+1) 1-k²
k=1
別解 長方形の周および内
=(n+1)+(n+1)n-1/n(n+1)(2n+1) 部にある格子点の個数
(n+1) (n+1) から領域
=(n+1)(4-n+6)(個)
外の個数を引く。
k=1
Ixy 平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。
ただし,
nは自然数とする。
(2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²
p.460 EX 21
(1)x0,y≧0, x+3y3n
