次の等式がxについての恒等式となるように,定数 a, b, cの値を定めよ。
-2x2+6
b。
a
x+1
C
x-1
(x-1)?
基本 15,16
7会数式でも,分母を0とするxの値(本間では -1, 1)を除いて, すべてのxについて
り立つのが恒等式である。与式の右辺を通分して整理すると
-2x°+6
両辺の分母が一致しているから, 分子も等しくなるように,係数比較法または数値代入
でa,6, c の値を定める。このとき,分母を払った 整式を考えるから,分母を0にする。
x=-1, 1も代入してよい(下の検討参照)。
解答
THAH
両辺に(x+1)(x-1)°を掛けて得られる等式
-2x°+6=a(x-1)ー6(x+1)(x-1)+c(x+1)
もxについての恒等式である。 E
解答1.(右辺)=a(x°-2x+1)-6(x°-1)+cx+c
=(a-b)x°+(-2a+c)x+a+b+c
-2x°+6=(a-6)x+(-2a+c)x+a+b+c
1(分母)20から
の
1係数比較法による解答。
人分
6本人外
「両辺の係数を比較して」
と書いてもよい。
よって
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
a-b=-2, 一2a+c=0, a+6+c=6
この連立方程式を解いて
a=1, b=3, c=2
数値代入法による解答。
解答2.① の両辺にx=-1, 0,1を代入すると,それぞれ
4=4a, 6=a+6+c, 4=2c
この連立方程式を解いて
求めたa, b, cの値をO
の右辺に代入し,展開した
ものが0の左辺と一致す
ることを確かめてもよい。
a=1, b=3, c=2
このとき, ① の両辺は2次以下の整式であり, 異なる3個の
xの値に対して成り立つから, ①はxについての恒等式であ
る。したがって
a=1, b=3, c=2
検討)分母を0にする値の代入-
分母を0
常式だからである。
( 11て
